计算代数几何和量子力学:后当代量子化学的一个创举</t我tle><l在khref="//m.ccnaonline.com/dists/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet"> <link href="//m.ccnaonline.com/dists/css/font-awesome.min.css" rel="stylesheet"> <link href="//m.ccnaonline.com/dists/css/style.css" rel="stylesheet"> <link href="//m.ccnaonline.com/dists/css/jquery.mCustomScrollbar.min.css" rel="stylesheet"> <link href="//m.ccnaonline.com/dists/css/animate.css" rel="stylesheet"> <link href="//m.ccnaonline.com/dists/owel/css/owl.carousel.min.css" rel="stylesheet"> <link href="//m.ccnaonline.com/dists/owel/css/owl.theme.default.min.css" rel="stylesheet"> <link rel="stylesheet" href="//m.ccnaonline.com/dists/ionicons/css/ionicons.min.css"> <style> .mylivechat_offline_logo { text-align:center; } @media (max-width: 600px) { .btn { display: inline-block; padding: 4px 3px; margin-bottom: 0; font-size: 13px; font-weight: 400; line-height: 1.42857143; text-align: center; white-space: nowrap; vertical-align: middle; -ms-touch-action: manipulation; 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class="row"> <div class="col-md-12"> <nav class="navbar navbar-default" role="navigation"> <div class="navbar-header"> <button type="button" class="navbar-toggle" data-toggle="collapse" data-target="#mainnav"><span class="sr-only">切换导航</年代p一个><年代p一个cl作为年代＝"icon-bar"></span><span class="icon-bar"></span><span class="icon-bar"></span></button> <a class="navbar-brand logo" href="//m.ccnaonline.com/"><img src="//m.ccnaonline.com/newsite/images/logo.png"></a> </div> <div class="collapse navbar-collapse" id="mainnav"> <ul class="nav navbar-nav navbar-right"> <li><a href="//m.ccnaonline.com/journal/index">首页</一个></l我><l我><a href="//m.ccnaonline.com/journal/journals">期刊</一个></l我><！--<li > <a href="//m.ccnaonline.com/conference/allconferences">Conferences</a> </li>--> <li><a href="https://www.infoconferences.com/">会议</一个></l我><l我><a href="//m.ccnaonline.com/journal/benefits">好处</一个></l我><l我><a href="//m.ccnaonline.com/journal/submit_manuscript">提交</一个></l我><l我><a 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<p><b>相应的细节</b></p></d我v></div> </div> <div class="row"> <div class="col-md-6 brd"> <div class="center-block placeholder box"> <p><b>名称:</b><一个t一个rget＝"_blank" href="">天皇明仁菊池</一个></p></d我v></div> <div class="col-md-6 brd"> <div class="center-block placeholder box"> <p><b>电子邮件:</b><一个cl作为年代＝"unselectable" id="unselectable" href="mailto:akihito_kikuchi@gakushikai.jp">akihito_kikuchi gakushikai.jp(在)</一个></p></d我v></div> </div> <div class="row"> <div class="col-md-6 brd"> <div class="center-block placeholder box"> <p><b>电话:</b>+81-3.．-3..759-6810</p></d我v></d我v><d我v class="col-md-6 brd"> <div class="center-block placeholder box"> <p><b>国家:</b>gydF4y2B一个日本</p></d我v></d我v></div> <div class="row"> <div class="col-md-12 col-sm-12 col-xs-12"> <div class="box"> <p><b>名称:</b>gydF4y2B一个国际量子技术研究中心，日本东京</p></d我v></d我v></div> <div class="box"> <hr> </div> <div class="row"> <div class="col-md-12 col-sm-12 col-xs-12" style="text-align:justify"> <div class="box"> <p><b>作者(年代):列表</b>gydF4y2B一个菊池A菊池I</p></d我v></d我v></div> </div>  </div> </div> </div>   <div class="tabs-section col-md-12 col-sm-12 fulltext_btn" style="margin-top:2%;line-height: 312%;text-align: left;"> <button type="button" class="btn btn-outline-primary" style="background-color:#FF6961;border-color:#CCCCFF"><a href="#article_info" data-toggle="tab" aria-expanded="false"><b style="color:white">条信息</b></一个></but来n> <a class="btn btn-3d btn-primary mr-xs mb-sm" href="#abstract" data-toggle="tab" aria-expanded="false" style="background-color:#77DD77;border-color:#77DD77"><i class="fa fa-edit fa-1 pull-left" style="font-size: 15px;margin-top: 3px;"></i><span>摘要</年代p一个></一个><一个cl作为年代="btn btn-3d btn-primary mr-xs mb-sm" href="#fulltext" data-toggle="tab" aria-expanded="false" style="background-color:#8dc449;border-color:#8dc449"><i class="fa fa-file-text fa-1 pull-left" style="font-size: 13px;margin-top: 3px;"></i><span>全文</年代p一个></一个><一个cl作为年代="btn btn-3d btn-success mr-xs mb-sm" href="#pdf" data-toggle="tab" aria-expanded="true" style="background-color:#CB99C9;border-color:#CB99C9"><i class="fa fa-file-pdf-o fa-1 pull-left" style="font-size: 13px;margin-top:2px;"></i><span>Pdf</年代p一个></一个><一个cl作为年代="btn btn-3d btn-success mr-xs mb-sm" href="#sf" data-toggle="tab" aria-expanded="true" style="background-color:#a29e89;border-color:#a29e89"><i class="fa fa-file-pdf-o fa-1 pull-left" style="font-size: 13px;margin-top:2px;"></i><span>补充文件</年代p一个></一个><一个cl作为年代="btn btn-3d btn-success mr-xs mb-sm" href="#references" data-toggle="tab" aria-expanded="true" style="background-color:#2977b5;border-color:#2977b5"><i class="" style="font-size: 13px;margin-top:2px;"></i><span>参考文献</年代p一个></一个><d我vcl作为年代="box"> <hr style="border-color:black;margin-top: 1%;margin-bottom: 1%;"> </div> <div class="tab-content row" style="margin-left: 1%;text-align: justify;margin-right: 1%;">  <div class="tab-pane fade active in" id="article_info"> <div class="article_tab"> <div class="row infor"> <div class="col-md-6 col-sm-6 col-xs-6"> <p><b>期刊名称:</b>gydF4y2B一个多学科研究与评论杂志</p><p><b>gydF4y2Ba文章类型:</b>gydF4y2B一个审查</p></d我v><d我vcl作为年代＝"col-md-6 col-sm-6 col-xs-6"> <p style="margin-left: 38px;"><i class="fa fa-calendar" aria-hidden="true"></i><b>收到日期:</b>20.．19gydF4y2B一个年9月30日,<br><我cl作为年代＝"fa fa-calendar" aria-hidden="true"></i><b>接受日期:</b>20.．19gydF4y2B一个年10月18日<br><我cl作为年代＝"fa fa-calendar" aria-hidden="true"></i><b>发表日期:</b>20.．19gydF4y2B一个年10月25日</p></d我v></d我v><d我v class="row infor"> <div class="col-md-12 col-sm-12 col-xs-12"> <p><b>引用:</b>gydF4y2B一个菊池A，菊池I(2019)计算代数几何和量子力学:对后当代量子化学的倡议。J Multidis Res Rev Vol: 1, Issu: 2(47-79)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"col-md-12 col-sm-12 col-xs-12"> <p><b>版权:</b>gydF4y2B一个©2019菊池A.这是一篇开放获取的文章，根据创作共用署名许可条款发布，该许可允许在任何媒体上不受限制地使用、发布和复制，前提是注明原作者和来源。</p></d我v></d我v></div> </div>   <div class="tab-pane fade" id="sf"> <div class="article_tab"> <iframe class="doc" src="https://docs.google.com/gview?url=//m.ccnaonline.com/supplementaryfile/JMRR/JMRR-118_Appendix.docx&embedded=true" style="height:500px;width:80%"></iframe> <object width="100%" height="600px" data="https://docs.google.com/gview?embedded=true&url=//m.ccnaonline.com/supplementaryfile/JMRR/JMRR-118_Appendix.docx" class="mobile"></object> <embed src="//m.ccnaonline.com/supplementaryfile/JMRR/JMRR-118_Appendix.docx" type="application/pdf" width="100%" height="600px" class="large"> </div> </div> <div class="tab-pane fade" id="abstract"> <div class="article_tab"> <div class="heading"> <h1>摘要</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>最近在量子化学中提出了一个新的框架(菊池的“用符号-数值计算计算第一性原理电子结构的方法”)。它是基于计算代数几何的现代技术，即多项式系统的符号计算。这个框架虽然属于分子轨道理论，但它完全采用了符号方法。长期方程中的解析积分用多项式近似表示。多项式的不定变量表示波函数和其他优化参数，如原子位置和原子轨道的收缩系数。然后，符号计算将多项式分解为一组方程的驯服形式，很容易应用数值计算。关键技术是Gröbner基础理论，通过该理论，人们可以通过解开相关变量的纠缠关系来研究电子结构。本文首先论证了这一新理论的特点。其次，对计算代数几何的数学基础进行了阐述。我们将看到多项式代数的高度抽象的概念如何应用于量子力学中确定问题的解决。 We solve simple problems in “quantum chemistry in algebraic variety” by means of algebraic approach. Finally, we review several topics related to polynomial computation, whereby we shall have an outlook for the future direction of the research.</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading"> <h1>关键字</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>量子力学、代数几何、交换代数、Grönber基、初等理想分解、量子力学的本征值问题、分子轨道理论;量子化学，代数变体的量子化学，第一性原理电子结构计算，符号计算，符号-数字求解，Hartree-Fock理论，Taylor级数，多项式近似，代数分子轨道理论。</p></d我v></d我v></div>   <div class="tab-pane fade" id="fulltext"> <div class="article_tab"> <div class="heading"> <h1>摘要</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>最近在量子化学中提出了一个新的框架(菊池的“用符号-数值计算计算第一性原理电子结构的方法”)。它是基于计算代数几何的现代技术，即多项式系统的符号计算。这个框架虽然属于分子轨道理论，但它完全采用了符号方法。长期方程中的解析积分用多项式近似表示。多项式的不定变量表示波函数和其他优化参数，如原子位置和原子轨道的收缩系数。然后，符号计算将多项式分解为一组方程的驯服形式，很容易应用数值计算。关键技术是Gröbner基础理论，通过该理论，人们可以通过解开相关变量的纠缠关系来研究电子结构。本文首先论证了这一新理论的特点。其次，对计算代数几何的数学基础进行了阐述。我们将看到多项式代数的高度抽象的概念如何应用于量子力学中确定问题的解决。 We solve simple problems in “quantum chemistry in algebraic variety” by means of algebraic approach. Finally, we review several topics related to polynomial computation, whereby we shall have an outlook for the future direction of the research.</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading"> <h1>关键字</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>量子力学、代数几何、交换代数、Grönber基、初等理想分解、量子力学的本征值问题、分子轨道理论;量子化学，代数变体的量子化学，第一性原理电子结构计算，符号计算，符号-数字求解，Hartree-Fock理论，Taylor级数，多项式近似，代数分子轨道理论。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading"> <h1>简介</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p><b>亲爱的读者,</b></p><p>gydF4y2Ba如果你是物理或化学专业的研究人员或学生，你可能听说过“代数几何”或“交换代数”。也许你只听说过这些词，你可能对它们没有明确的概念，因为这些话题是数学系教授的，而不是物理和化学。你可能听说过理论物理学的高级领域，如超弦理论、矩阵模型等，在这些领域中，研究人员通过深奥的数学理论来寻找宇宙的秘密<我>代数几何和量子力学的座右铭</我>．你可能会绝望地想象到达书房最前面所需要的耐力……然而，代数几何起源于相当原始的数学领域。事实上，它是解析几何的延伸你们一定在高中学过。根据《大英百科全书》，这个词的定义如下:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>代数几何，研究多项式方程解的几何性质，包括在三维空间的解。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>它简单地断言代数几何是对多项式系统的研究。多项式在物理学的各个分支中都是普遍存在的。如果你参加初级量子力学的课程，或者你学习量子化学，为了计算能谱，你总是会遇到长期方程。这样的方程实际上是由多项式系统给出的，尽管你可以通过线性代数来求解。事实上，线性代数是如此强大以至于你几乎忘记了你正在处理的是多项式代数方程。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>是勇敢的!让我们带着代数几何的图表在量子力学的海洋中进行一次小旅行。你的航行将永远不会有暴风雨和薄雾<我>母马incognitum</我>．我们租了一艘名为“交换代数”号的游轮，从一个名为“分子轨道理论”的著名海港出发。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>量子化学电子结构计算中的分子轨道理论[1]，如果采用定域原子轨道基，则由长期方程的解来计算<米在hx米ln年代＝"http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>由位置上的原子集合定义<米在hx米ln年代＝"http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> R</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>与其他可优化变量<米在hx米ln年代＝"http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> ζ</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>：</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mtext> H</米text><米row><米o> （</米o><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> R</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> ζ</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>⋅</米o><米我>Ψ</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>E</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mtext> 年代</米text><米row><米o> （</米o><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> R</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> ζ</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>⋅</米o><米我>Ψ</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:1%"> 其中矩阵元素由</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mtext> H</米text><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> d</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米text> </mtext> <mi> ℋ</米我><米text></米text> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ，</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:1%"> 而且</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mtext> 年代</米text><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> d</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米text> </mtext> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ．</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 在这些表达式,<米在hx米ln年代＝"http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi> ℋ</米我></米在h>是哈密顿;向量<米在hx米ln年代＝"http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi> Ψ</米我></米在h>表示LCAO波函数中的系数<米在h><米row><米我>Ψ</米我><米o>＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="50%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <msub> <mi> χ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代ub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>；E是能谱。理论上，Fock矩阵H和重叠矩阵S是用符号计算的，用高斯或斯莱特型定域原子基中包含的原子坐标和其他参数的解析公式表示;在实践中，它们是用数值给出的，方程是用线性代数的方法求解的。与此相反，Kikuchi[2]证明了分子轨道理论的符号-数值计算是有可能的，它可以不需要线性代数:长期方程由解析形式给出，由多项式系统近似，由计算代数几何处理。符号计算将多项式方程重构、分解为更易于处理、更简单的形式，进而利用多项式方程的数值解得到量子本征态。其关键技术是Gröbner基理论和多项式集三角剖分。让我们回顾一下[2]中氢分子的范例计算。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让<米在hx米ln年代＝"http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>，<米在hx米ln年代＝"http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mi> Z</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> </math>，<米在hx米ln年代＝"http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <msub> <mi> R</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> </math>是波函数，原子电荷，原子位置。给出了Hartree-Fock理论的总能量泛函</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> Ω</米我><米o>＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munder> <mo> ∑</米o><米我>我</米我></米under><米row> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo> ∫</米o><米row><米我>d</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o></米o><米年代ub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米row> </mstyle> </mrow> </mstyle> <mrow> <mo> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代up><米row><米frac> <mi> Δ</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米fr一个c></米row> <mn> 2</米n></米年代up><米o>+</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munder> <mo> ∑</米o><米我>一个</米我></米under><米row> <mfrac> <mrow> <msub> <mi> Z</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> <mrow> <mo> |</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>R</米我><米我>一个</米我></米年代ub><米o> |</米o></米row></米frac> </mrow> </mstyle> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米年代ub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mo> +</米o><米fr一个c><米n>1</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米fr一个c><米年代up> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <munder> <mo> ∑</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米under> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo> ∫</米o><米row><米我>d</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <malignmark></malignmark> <malignmark></malignmark> <mi> d</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米row></米row> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <mo> ”</米o></米年代up><米fr一个c> <mrow> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米一个l我gn米一个rk></malignmark> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代up><米我>r</米我><米o>”</米o></米年代up><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米一个l我gn米一个rk></malignmark> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代up><米我>r</米我><米o>”</米o></米年代up><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row><米row> <mo> |</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>r</米我><米o>”</米o></米年代up><米o>|</米o></米row></米frac> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mo> −</米o><米fr一个c><米n>1</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米fr一个c><米年代up> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <munder> <mo> ∑</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米under> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo> ∫</米o><米row><米我>d</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <malignmark></malignmark> <malignmark></malignmark> <mi> d</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米row></米row> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <mo> ”</米o></米年代up><米fr一个c> <mrow> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米一个l我gn米一个rk></malignmark> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代up><米我>r</米我><米o>”</米o></米年代up><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米一个l我gn米一个rk></malignmark> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代up><米我>r</米我><米o>”</米o></米年代up><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row><米row> <mo> |</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>r</米我><米o>”</米o></米年代up><米o>|</米o></米row></米frac> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mo> +</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munder> <mo> ∑</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我></米row></米under> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi> Z</米我><米我>一个</米我></米年代ub><米text> </mtext> <malignmark></malignmark> <msub> <mi> Z</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mrow> <mo> |</米o><米年代ub><米我>R</米我><米我>一个</米我></米年代ub><米o> −</米o><米年代ub><米我>R</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> |</米o></米row></米frac> </mrow> </mstyle> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mo> −</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munder> <mo> ∑</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米under> <mrow> <msub> <mi> λ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </mstyle> <mo stretchy="false"> （</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <mrow> <mo> ∫</米o><米row><米我>d</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我><米text></米text> </mrow> </mrow> </mstyle> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> <msub> <mi> ϕ</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>δ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo stretchy="false"> ）</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 长期方程是由波函数的平稳条件导出的</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi> δ</米我><米我>Ω</gydF4y2Ba米我></米row><米row> <mi> δ</米我><米年代ub><米我> ϕ</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </mfrac> <mtext> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mn> 0.</米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 相对于原子坐标的能量最小值给出了稳定结构:</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi> δ</米我><米我>Ω</gydF4y2Ba米我></米row><米row> <mi> δ</米我><米年代ub><米我> R</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mfrac> <mo> ＝</米o><米n>0.</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 让我们考虑简单的氢，如图1所示。</d我v><d我vcl作为年代＝"figure"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto;border:1px solid #8dc449;"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto"> <center> <button type="" class="imagebutton" data-toggle="modal" data-target="#myModal" style="margin-top:2%;"><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure1 JMRR-118.jpg" style="width:100%"></button> </center>  <div class="modal fade" id="myModal" role="dialog" style="margin-top:90px"> <div class="modal-dialog">  <div class="modal-content"> <div class="modal-header"> <button type="" class="close" data-dismiss="modal">×</but来n><d我vcl作为年代＝"figuredata"> 图1</d我v></d我v><d我v class="modal-body"> <img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure1 JMRR-118.jpg" style="width:100%;"> </div> <div class="modal-footer"> <div class="row"> <div class="col-md-10"> <div class="figuredata"> 氢分子的图像，由两个原子组成。</d我v></d我v><d我v class="col-md-2"> <button type="button" class="btn btn-default" data-dismiss="modal">关闭</but来n></d我v></d我v> </div> </div> </div> </div> <div class="figuredata1"> <b>图1:</b>gydF4y2B一个氢分子的图像，由两个原子组成。</d我v></d我v></div> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 假设两个氢原子放在<米在h><米row><米年代ub><米i> R</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> R</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>．通过最简单的模型，我们可以选择点上自旋和下自旋的试波函数<米在h><米row><米我>z</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>ℝ</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>如下:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> ϕ</米我><米row><米text> 向上</米text></米row></msub> <mrow> <mo> （</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米fr一个c><米n>1</米n><米row><米年代问rt><米i> π</米我></米年代问rt></米row> </mfrac> <mrow> <mo> （</米o><米row><米text> </mtext> <mi> 一个</米我><米text></米text> <mtext> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>+</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mtext> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米text> </mtext> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> ϕ</米我><米row><米text> 下来</米text></米row></msub> <mrow> <mo> （</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米fr一个c><米n>1</米n><米row><米年代问rt><米i> π</米我></米年代问rt></米row> </mfrac> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>c</米我><米text></米text> <mtext> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>+</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mtext> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米text> </mtext> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>在哪里</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> z</米我><米row><米我> 一个</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>B</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米row><米o>|</米o><米row><米我>z</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>R</米我><米row><米我> 一个</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>B</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> |</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>而且<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>c</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是要确定的真实变量。让<我>电动汽车</我>而且<我>电子战</我>是拉格朗日乘子<米在h><米row><米年代ub><米i> λ</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>为<米在h><米row><米o></米o> <msub> <mi> ϕ</米我><米row><米text> 向上</米text></米row></msub> </mrow> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> ϕ</米我><米row><米text> 下来</米text></米row></msub> </mrow> </math>．由于这两个波函数本质上是正交的，由于自旋的不同，我们假设乘数是对角线的:<米在h><米row><米年代ub><米i> λ</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>为<米在h><米row><米我>我</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>从这些表达式，所有涉及能量泛函的积分被解析计算。(积分的解析形式见[2]的补充)然后，关于原子间距离<米在h><米row><米年代ub><米i> R</米我><米row><米我> 一个</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>，能量泛函的泰勒展开计算到4次，在的中心<米在h><米row><米年代ub><米i> R</米我><米row><米我> 一个</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米n>7</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>5</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．多项式近似由</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>OMEGA = (3571 - 1580*a^2 - 3075*a*b - 1580*b^2 - 1580*c^2 + 625*a^2*c^2 + 1243*a*b*c^2 - 3075*c*d + 1243*a^2*c*d + 2506*a*b*c*d + 1243*b^2*c*d - 1580*d^2</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>.......................................................................................................... .......................................................................................................... ..........................................................................................................</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>c - 86 * a * b * * d * r ^ 4 - 17 * b c ^ 2 * * * r ^ 4 + 12 * d r ^ ^ 2 * 4 - 4 * ^ 2 * d r ^ ^ 2 * 4 - 17 * a * b * d r ^ ^ 2 * 4 + 13 * a * b * ev * r ^ 4 + 13 * c * d *新* r ^ 4) / 1000</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>原子间距离呢<米在h><米row><米年代ub><米i> R</米我><米row><米我> 一个</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>用r表示(为了多项式处理方便)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>研究中使用的方程式相当冗长，所以我们只展示其中的一部分。我们在附录(补充材料)中给出了准确的函数:附录A中的能量泛函;附录B中的长期方程;附录C中的Gröbner基地;附录D中的三角测量。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>为了减少计算成本，数值系数用分数表示，用小数的截断表示。我们做变量代换<米在h><米row><米o></米o> <mi> 一个</米我><米o>，</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>c</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>来<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>，</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>用以下方法:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>＝</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我><米o>，</米o><米text></米text> <mi> b</米我><米o>＝</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我><米o>，</米o><米text></米text> <mi> c</米我><米o>＝</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>v</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米text></米text> <mi> d</米我><米o>＝</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 因此，波函数由对称和反对称部分的和表示:</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <msub> <mi> ϕ</米我><米row><米text> 向上</米text></米row></msub> <mrow> <mo> （</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米fr一个c><米我> t</米我><米row><米年代问rt> <mi> π</米我></米年代问rt></米row> </mfrac> <mrow> <mo> （</米o><米row><米text> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>+</米o><米text>经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>+</米o><米fr一个c><米我> 年代</米我><米row><米年代问rt> <mi> π</米我></米年代问rt></米row> </mfrac> <mrow> <mo> （</米o><米row><米text> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>−</米o><米text>经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> ϕ</米我><米row><米text> 下来</米text></米row></msub> <mrow> <mo> （</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米fr一个c><米我> u</米我><米row><米年代问rt> <mi> π</米我></米年代问rt></米row> </mfrac> <mrow> <mo> （</米o><米row><米text> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>+</米o><米text>经验值</米text><米o年代tretchy="false"> （</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米fr一个c><米我> v</米我><米row><米年代问rt> <mi> π</米我></米年代问rt></米row> </mfrac> <mrow> <mo> （</米o><米row><米text> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>−</米o><米text>经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>z</米我><米我>B</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>静止的条件<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <mi> δ</米我><米我>Ω</gydF4y2Ba米我></米row><米row> <mi> δ</米我><米我>一个</米我></米row></米frac> </mrow> </math>，<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <mi> δ</米我><米我>Ω</gydF4y2Ba米我></米row><米row> <mi> δ</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> </mrow> </math>，<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <mi> δ</米我><米我>Ω</gydF4y2Ba米我></米row><米row> <mi> δ</米我><米我>c</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> </mrow> </math>，<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <mi> δ</米我><米我>Ω</gydF4y2Ba米我></米row><米row> <mi> δ</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> </mrow> </math>，对于t, s, u, v，得到这些方程:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>[1] 32 *年代* u * * r ^ 4 - 336 v * *你* * r ^ 3 + 992 * S * u * * r ^ 2 - 160 v * *你* * r</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>.......................................................</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>+ 126 * t * r ^ 4 - 882 * t * ^ 3 + 1748 * t * r ^ 2 + 1896 * t * r - 12470 * t = 0</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>S [2] 156 * * u r ^ ^ 2 * 4 - 1068 * S * u r ^ ^ 2 * 3 + 2248 * S * u ^ 2 * r ^ 2 - 80 u r ^ 2 * * *</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>.......................................................</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>+ 992 * t *你* v * r ^ 2 - 160 v * t *你* * r + 40 * t *你* v = 0</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>[3] 156 * S ^ 2 *你* * S ^ 2 * r ^ 4 - 1068 u * r ^ 3 + 2248 * S ^ 2 *你* r ^ 2 - 80 * S ^ 2 *你* r</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>.......................................................</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>+ 126 *你* r ^ 4 - 882 * u * r ^ 3 + 1748 * * r ^ 2 + 1896 * * r - 12470 * u = 0</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>[4] -52 * S ^ 2 * v * r ^ 4 + 236 * S ^ 2 * v * r ^ 3-32 * S ^ 2 * v * r ^ 2 - 104 * S ^ 2 * v * r</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>.......................................................</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>-30 * v * r ^ 4 + 330 * * r ^ 3 - 1148 * v * r ^ 2 + 760 * * r - 170 * v = 0</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>静止的条件<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <mi> δ</米我><米我>Ω</gydF4y2Ba米我></米row><米row> <mi> δ</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> </mrow> </math>，<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <mi> δ</米我><米我>Ω</gydF4y2Ba米我></米row><米row> <mi> δ</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>w</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> </mrow> </math>，对于ev, ew，是波函数的归一化条件。他们得出两个方程:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>[5] -13 *年代r ^ ^ 2 * 4 + 139 * S ^ 2 * r ^ 3 - 458 * S ^ 2 * r ^ 2 + 63 * S ^ 2 * r</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>.......................................................</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>-63 * t ^ 2 * r * t ^ 2 + 1000 - 3986 = 0</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>S [6] 13 * u r ^ ^ 2 * 4 - 139 * u r ^ ^ 2 * 3 + 458 * u ^ 2 * r ^ 2 - 63 u r ^ 2 * *</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>.......................................................</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>+ 63 * v ^ 2 * r-14 * v ^ 2 + 1000 = 0</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>分子几何δΩ/δr的稳定条件得到:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>312 * s u ^ ^ 2 * 2 * * s ^ 2 * r ^ 3 - 1602 u r ^ ^ 2 * 2 + 2248 * s ^ 2 * u r ^ 2 *</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>.......................................................</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>.......................................................</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>+ 380 * v ^ 2 + 740 * r ^ 3 - 3903 * r ^ 2 + 7288 * r - 5102 = 0</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>然而，为了简单起见，我们用一个简单的(原子间固定距离)方程式来代替最后一个方程式:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>S[7] 5 *他用r7 = 0。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>它将原子间距离固定为1.4。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>通过处理多项式S[1]，…，年代［7］，我们获得18polyno米我als in the Grönber basis J[1],...,J[18]. We only show the skeletons of them, because the coefficients are too lengthy. The exact form is given in the appendix.</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>J [1] = r - 1.4<br>J［2］＝（.．.）＊哟^ 6 +(…)*哟^ 5 +(…)*电子战^ 4<br>+（.．.）＊哟^ 3 +(…)*哟^ 2 +(…)*电子战+(…)<br>J［3.］＝（.．.）＊电动汽车+（.．.）＊哟^ 5 +(…)*哟^ 4 +(…)*电子战^ 3<br>-（.．.）＊电子战^ 2 -(…)*电子战+(…)<br>J［4］＝（.．.）＊v＊电子战^ 4 +(…)* v *电子战^ 3 +(…)* v *电子战^ 2<br>-（.．.）＊v＊电子战(…)* v<br>J［5］＝（.．.）＊v＾2-(…)*电子战^ 5 -(…)*哟^ 4 -(…)*哟^ 3<br>-（.．.）＊哟^ 2 +(…)*哟,(…)<br>J［6］＝（.．.）＊你*电子战^ 4 +(…)*你*电子战^ 3 +(…)*你*电子战^ 2<br>+（.．.）＊你*电子战+(…)*你<br>J［7］＝（.．.）＊你* v *电子战^ 2 +(…)*你* v *电子战+(…)*你* v<br>J［8］＝（.．.）＊u＾2+(…)*哟^ 5 +(…)*哟^ 4 +(…)*电子战^ 3<br>+（.．.）＊哟^ 2 -(…)*哟,(…)<br>J［9］＝（.．.）＊t＊电子战^ 4 +(…)* t *电子战^ 3 +(…)* t *电子战^ 2<br>+（.．.）＊t＊电子战+(…)* t<br>J［10］＝（.．.）＊t＊v＊电子战^ 3 +(…)* t * v *电子战^ 2 +(…)* t * v *电子战+(…)* t * v<br>J［11］＝（.．.）＊t＊你*电子战^ 3 +(…)* t *你*电子战^ 2 +(…)* t *你*电子战+(…)* t * u<br>J［12］＝（.．.）＊t＾2-(…)*电子战^ 5 -(…)*哟^ 4 -(…)*哟^ 3<br>+（.．.）＊哟^ 2 +(…)*哟,(…)<br>J［13］＝（.．.）＊＊电子战^ 2 +(…)* *电子战-(…)* s - u * v(…)* t * *电子战-(…)* t *你* v<br>J［14］＝（.．.）＊＊v＊电子战-(…)* s * v-t * u *电子战^ 2 -(…)* t *你*电子战-(…)* t * u<br>J［15］＝（.．.）＊＊你*电子战+(…)* * u +(…)* t * v *电子战^ 2 +(…)* t * v *电子战+(…)* t * v<br>J［16］＝（.．.）＊＊你* v +(…)* t *电子战^ 3 +(…)* t *电子战^ 2 +(…)* t *电子战+(…)* t<br>J［17］＝（.．.）＊＊t-v(…)*你* *电子战-(…)*你* v<br>J［18］＝（.．.）＊年代＾2+(…)*哟^ 5 +(…)*哟^ 4 +(…)*电子战^ 3<br>-（.．.）＊哟^ 2 -(…)*哟,(…)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>计算了Gröbner基的三角分解，其中包含了五组分解方程组T[1]，…T[5]。这里只给出了框架，而细节在附录中给出。观察到一个分解集包含7个条目;从第一个条目到最后一个条目，七个变量按r、ew、ev、v、u、t、s的顺序依次相加，排列成一个三角形。现在我们可以通过一个一个确定未知变量来解这个方程。结果，三角分解产生方程的解的四个子集:可能的电子构型被耗尽，如表1所示。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"tabledata"> <p><b>表1:</b>gydF4y2B一个这个表格显示了三角剖分后的长期方程的解。电子1和电子2分别处于上自旋和下自旋;结果穷尽了基态和激发态的四种可能构象。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"table-responsive tablezoom" style="margin-top:2%;"> <table class="table table-bordered"> <thead> <tr> <th></th> <th>解决方案1</th><th>gydF4y2Ba解决方案2</th><th>gydF4y2Ba解决方案3</th><th>gydF4y2Ba解决方案4</th></tr></thead> <tbody> <tr> <td>t</td><td>-0.53391</td><td>0.00000</td><td>-0.53391</td><td>0.00000</td></tr><tr> <td>年代</td><td>0.00000</td><td>-1.42566</td><td>0.00000</td><td>-1.42566</td></tr><tr> <td>u</td><td>-0.53391</td><td>-0.53391</td><td>0.00000</td><td>0.00000</td></tr><tr> <td>v</td><td>0.00000</td><td>0.00000</td><td>-1.42566</td><td>-1.42566</td></tr><tr> <td>电动汽车</td><td>-0.62075</td><td>-0.01567</td><td>-0.62734</td><td>0.01884</td></tr><tr> <td>电子战</td><td>-0.62075</td><td>-0.62734</td><td>-0.01567</td><td>0.01884</td></tr><tr> <td>r</td><td>1.40000</td><td>1.40000</td><td>1.40000</td><td>1.40000</td></tr><tr> <td>的总能量</td><td>-1.09624</td><td>-0.49115</td><td>-0.49115</td><td>0.15503</td></tr><tr> <td>电子1</td><td>gydF4y2Ba对称的</td><td>gydF4y2Ba不对称</td><td>gydF4y2Ba对称的</td><td>gydF4y2Ba不对称</td></tr><tr> <td>电子2</td><td>gydF4y2Ba对称的</td><td>gydF4y2Ba对称的</td><td>gydF4y2Ba不对称</td><td>gydF4y2Ba不对称</td></tr></tbody> </table> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>T [1]:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:1%;margin-right: 10px"> <p>_ [1] = r - 1.4<br>gydF4y2B一个_[2] =(…)*电子战+(…)<br>gydF4y2B一个_[3] =(…)* ev +(…)<br>gydF4y2B一个_ [4] = v<br>gydF4y2B一个_[5] =(…)* u ^ 2 -(…)<br>gydF4y2B一个_ [6] = t<br>gydF4y2B一个_[7] =(…)* s ^ 2 -(…)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>T [2]:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:1%"> <p>_ [1] = r - 1.4<br>gydF4y2B一个_[2] =电子战-(…)<br>gydF4y2B一个_ [3] = ev -(…)<br>gydF4y2B一个_ [4] = v ^ 2 -(…)<br>gydF4y2B一个_ [5] = u<br>gydF4y2B一个_ [6] = t<br>gydF4y2B一个_[7] =(…)* s ^ 2 -(…)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>T [3]:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:1%"> <p>_ [1] = r - 1.4<br>gydF4y2B一个_[2] =电子战^ 2 +(…)*电子战+(…)<br>gydF4y2B一个_ [3] = ev-ew<br>gydF4y2B一个_ [4] = v ^ 2 -(…)*电子战(…)<br>gydF4y2B一个_ [5] = u ^ 2 +(…)*电子战+(…)<br>gydF4y2B一个_ [6] = t ^ 2 +(…)*电子战+(…)<br>gydF4y2B一个_ [7] = s + v(…)* t *你* *电子战+(…)* t *你* v</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>T [4]:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:1%"> <p>_ [1] = r - 1.4<br>gydF4y2B一个_[2] =电子战+(…)<br>gydF4y2B一个_ [3] = ev +(…)<br>gydF4y2B一个_ [4] = v<br>gydF4y2B一个_ [5] = u ^ 2 -(…)<br>gydF4y2B一个_ [6] = t ^ 2 -(…)<br>gydF4y2B一个_ [7] =</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>T [5]:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:1%"> <p>_ [1] = r - 1.4<br>gydF4y2B一个_[2] =电子战+(…)<br>gydF4y2B一个_ [3] = ev +(…)<br>gydF4y2B一个_ [4] = v ^ 2 -(…)<br>gydF4y2B一个_ [5] = u<br>gydF4y2B一个_ [6] = t ^ 2 -(…)<br>gydF4y2B一个_ [7] =</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>这是[2]的特色结果之一。这项工作的作者以事实的方式演示了计算的过程，但他没有如此详细地解释潜在的数学理论。因此，掌握交换代数和代数几何的一些先决条件是有益的，因为这些理论对大部分物理学家和化学家来说仍然是陌生的。在接下来的部分中，我们回顾交换代数和代数几何的概念，它们在这类计算中被利用。接下来，我们学习Grönbner bases。我们将发现交换代数中的“初等理想分解”代替线性代数的特征值问题。然后运用所学知识从多项式代数的角度解决分子轨道理论的一些简单问题。最后，我们将对“多项式优化”和“量词消去”等将丰富分子轨道理论的多项式代数味道的相关课题进行探讨。这些方法的应用将为今后的研究指明方向。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>交换代数与代数几何基础“，</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>我们的便利工具是多项式，我们主要关心的是如何解多项式方程组。这样的主题就是交换代数的主题。如果我们要用几何的观点来做，任务也在于代数几何。基于这个原因，在本节中，我们将回顾与多项式理论相关的数学定义和例子。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>n.b.:读者应该记住，所选的主题只是深奥数学概念的“缩略图”。至于证据，读者应该从更严谨的资料中学习;例如，对于交换代数，爱森巴德的书[3]或里德的书[4];关于代数几何，可以参考Perrin[5]的书，Gröbner bases的书，Cox, Little和O 'Shea[6,7]的书，Becker和weispenning的书[8]，或者Ene和Herzog的书[9]。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>多项式和环</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>多项式应该定义在一个环中。一个环是由系数(在某些领域)和不定变量组成的。设K是系数场。多项式环<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是k向量空间，与基元素(单体)的形式</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们定义一个单项的度<米在h><米row><米年代up><米text> X</米text><米我>C</米我></米年代up><米text> </mtext> <mo> ＝</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mtext> </mtext> <msubsup> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mn> ．...</米n><米年代ub年代up><米我> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米row><米年代ub> <mi> c</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> <mtext> </mtext> </mrow> </math>通过</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> |</米o><米row><米text> X</米text><米row><米row> <msup> <mrow></mrow> <mi> C</米我></米年代up></米row> <mo> |</米o></米row></米row> </mrow> <mtext> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mstyle displaystyle="true"> <munderover> <mo> ∑</米o><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> n</米我></米underover> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </mstyle> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>多项式的次数由</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 度</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mi> 马克斯</米我><米o>｛</米o><米row><米o>|</米o><米row><米text> X</米text><米row><米row> <msup> <mrow></mrow> <mi> C</米我></米年代up></米row> <mo> |</米o></米row></米row> </mrow> <mtext> </mtext> <mo> ：</米o><米text>X</gydF4y2Ba米text><米年代up><米text> </mtext> <mi> c</米我></米年代up><米o> ∈</米o><米text></米text> <mi mathvariant="normal"> 增刊</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 齐次多项式是一个多项式，其中每个非零的多项式都有相同的次。</d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>例4.1</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets"> <ul> <li> <math> <mrow> <msup> <mi> x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代up> <mi> y</米我><米text></米text> </msup> <mo> +</米o><米年代up><米我>x</米我><米text></米text> </msup> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>是3次的齐次多项式。</l我><l我><米在h> <mrow> <msup> <mi> x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> y</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>不均匀。</l我></ul></d我v> <div class="heading3"> <h1>例4.2</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>(均匀性)非均匀多项式<米在h><米row><米我>P</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是否通过一个附加变量来均化<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>为<米在h><米row><米我>P</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <msup> <mi> x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> y</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msup> <mrow></mrow> <mi> h</米我></米年代up><米我> P</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <msup> <mi> t</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米年代up><米row> <mrow> <mo> （</米o><米row><米fr一个c> <mi> x</米我><米我>t</gydF4y2Ba米我></米fr一个c></mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> <mn> 3.</米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米fr一个c> <mi> y</米我><米我>t</gydF4y2Ba米我></米fr一个c></mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米fr一个c> <mi> y</米我><米我>t</gydF4y2Ba米我></米fr一个c></mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>+</米o><米年代up><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米fr一个c> <mi> z</米我><米我>t</gydF4y2Ba米我></米fr一个c></mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米text> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <msup> <mi> x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> y</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> t</米我></米row></米ath> </div> <div class="heading3"> <h1>理想的</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <b>定义4.1</b>gydF4y2B一个多项式环中的理想多项式是多项式的集合，它在以下操作下是封闭的:<d我vcl作为年代＝"para bullets"> <ul> <li> <math> <mrow> <msub> <mi> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∈</米o><米我>我</米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∈</米o><米我>我</米我></米row></米ath>然后<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>我</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∈</米o><米我>我</米我></米row></米ath></li> <li> <math> <mrow> <msub> <mi> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∈</米o><米我>我</米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>α</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>然后<米在h><米row><米我>α</米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>．</l我></ul></d我v> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 我们通常用产生式来表示理想状态，例如<米在h><米row><米o></米o> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o></mo> </mrow> </math>或<米在h><米row><米我>J</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>理想的和和和的乘积由</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mo> ｛</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米text></米text> <mtext> 而且</米text><米text></mtext> <mi> g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米我>J</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mo> ｛</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>．</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米text></米text> <mtext> 而且</米text><米text></mtext> <mi> g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 理想商被定义为理想</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>：</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mo> ｛</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我><米o>：</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>．</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米text></米text> <mtext> 对所有</米text><米text></mtext> <mi> g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 对于两个理想I和m，饱和度定义为</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>米</米我><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munderover> <mo> ∪</米o><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> ∞</米我></米underover> <mrow> <mi> 我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>米</米我><米我>我</米我></米年代up></米row> </mstyle> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>(观察到<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>米</米我><米我>我</米我></米年代up><米o> ⊂</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米我>米</米我></米row></米ath>在许多情况下，我们不必把无限个理想商的并集看作是由和的并集的推广<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>米</米我><米我>我</米我></米年代up></米row> </math>如果环是诺埃斯环(这将在后面讨论)，则会“饱和”并在某个有限i处停止增长。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>理想I的根号是由</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msqrt> <mi> 我</米我></米年代问rt><米text> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mo> ｛</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>f</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ∈</米o><米我>我</米我><米text></米text> <mtext> 为</米text><米text></mtext> <mtext> 一些</米text><米我米在hv一个riant="normal"> 整数</米我><米text></米text> <mi> k</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="heading3"> <h1>仿射代数集(仿射代数变种)</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <b>定义4.2。</b>gydF4y2B一个设S是一个环的子集<米在h><米row><米o></米o> <mi> k</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>．我们表示多项式的公共零<米在h><米row><米我>P</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>在年代</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> V</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>年代</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mo> ｛</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米row><米row><米年代up> <mi> k</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> |</米o></米row><米o>∀</米o><米我>P</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．...</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我><米text></米text> <mtext> 这样的</米text><米text></mtext> <mtext> 那</米text><米text></mtext> <mi> P</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mn> 0</米n><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 我们称之为<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>年代</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>由定义的仿射代数集(或仿射变体)<米在h><米我>年代</米我></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.3</b>gydF4y2B一个在<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>X</米我><米o>，</米o><米我>Y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> X</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>Y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>X</米我><米o>＝</米o><米o>±</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米row><米o> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代问rt> <mtext> </mtext> <mi> Y</米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math>．<br><b>gydF4y2B一个例4.4</b>gydF4y2B一个在<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>X</米我><米o>，</米o><米我>Y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>V</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米我>X</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>Y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>＝</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>Y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0.</gydF4y2Ba米n></米row></米在h><br><b>例4.5</b>gydF4y2B一个在<米在h><米row><米我>k</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> ｛</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米o>∅</gydF4y2Ba米o></米row></米在h>．<br><b>gydF4y2B一个例4.6</b>gydF4y2B一个在<米在h><米row><米我>k</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> ｛</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米我>k</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <p>同样，仿射代数集的这些性质是值得注意的。</p><ul><l我>如果<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>B</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</l我><l我>一个点<米在h><米row><米o></米o> <mi> 一个</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是一个仿射代数集:<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></li> <li>如果那么<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></li> <p> <math> <mrow> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>∩</米o><米n>．．.</米n><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> <li>仿射代数集的交集也是一个仿射代数集:</l我><p><米在h><米row> <mstyle displaystyle="true"> <munder> <mo> ∩</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米under><米row> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> 年代</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </mstyle> <mo> ＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代tyle说playstyle="true"> <munder> <mo> ∩</米o><米我>我</米我></米under><米row> <msub> <mi> 年代</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mstyle> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> <li>或</l我><p><米在h><米row> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>∩</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> <li>仿射代数集的有限并也是仿射代数集:</l我><p><米在h><米row> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>∪</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </ul> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>饱和度的解释<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>J</米我><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>在代数几何中是这样的:饱和是补的闭包(在拓扑的意义上)<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>在<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.3</b>gydF4y2B一个设为的子集<米在h><米row><米年代up><米i> k</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>(其中k是一个任意字段)。的理想<米在h><米我>V</gydF4y2Ba米我></米在h>被定义为<米在h><米row><米o></米o> <mi> 我</米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米text> </mtext> <mi> f</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>k</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米text> x</米text><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米text> x</米text><米我>n</米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>∣</米o><米o>∀</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>换句话说,<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>多项式函数的集合在上面消失了吗<米在h><米我>V</gydF4y2Ba米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>例4.7<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米o>∅</gydF4y2Ba米o><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>k</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> X</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>X</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>例4.8对于理想</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米年代up> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 饱和度由</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>：</米o><米年代up><米row><米o stretchy="false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米我> ∞</米我></米年代up><米o> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是曲线的镇定吗<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>这条双线<米在h><米row><米我>x</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．饱和<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米row><米o stretchy="false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米我> ∞</米我></米年代up></米row> </math>删除行<米在h><米row><米我>x</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>从那沉着;这一点<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>(躺在<米在h><米row><米我>x</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>)，然而，没有被删除，因为饱和是闭包。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>理想I的仿射代数集的理想，用<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>,是可计算的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.9</b>gydF4y2B一个为<米在h><米row><米我>J</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> Y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米年代up><米我>Y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>X</米我><米o>，</米o><米我>Y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米row><米o> （</米o><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>X</米我><米o>，</米o><米我>Y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．观察到的<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>≠</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．这是著名的希尔伯特定理(Nullstellensatz)的结果，我们将在后面学习。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>残类环或商环</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>我们可以定义“剩余类环”。让<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是环R中的一个理想点，f是R中的一个元素<米在h><米row><米我>f</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>f</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math>为“f模I的残类”;F是剩余类的代表<米在h><米row><米我>f</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>．以I为模表示剩余类的集合<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>．通过加法和乘法，它也具有环形结构。一些资源使用术语“商环”或“因子环”来表示相同的数学对象。一般来说，理想描述的是几何对象，这些对象可能是离散的点，也可能是相互连接的，在几个维度中。它们用残类环表示:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> k</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 让我们来看几个例子。</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <b>例4.10</b><米在h><米row><米i> ℚ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>环中的元素<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>是多项式<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代up> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>．除以</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们分<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>通过<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,所以</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>b</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>b</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>⋅</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>的残渣<米在h><米row><米年代ub><米i> b</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>b</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> x</米我></米row></米ath>是<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>当映射到剩余类环时。我们可以假设<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> x</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>(代表<米在h><米我>x</gydF4y2Ba米我></米在h>在残差类环中)将不是一个待定变量，而是一个确定的数<米在h><米我>α</gydF4y2Ba米我></米在h>（外<米在h><米我>ℚ</gydF4y2Ba米我></米在h>），这样<米在h><米row><米年代up><米i> α</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.11</b><米在h><米row><米i> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们假设代表<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> x</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>而且<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>的<米在h><米我>x</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>在残类环中不会是待定变量，而是一对数字<米在h><米我>α</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>β</gydF4y2Ba米我></米在h>这样<米在h><米row><米年代up><米i> α</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>β</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,这<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米over一个ccent="true"> <mi> x</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米o>，</米o><米over一个ccent＝"true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>描述一个单位圆，作为一维几何物体<米在h><米row><米年代up><米i> ℝ</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.12</b></p><p><米在h> <mrow> <mi> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>代表<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> x</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>而且<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>的<米在h><米我>x</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>是考虑到要点还是<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>的交叉点<米在h><米row><米o></米o> <msup> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米我>x</米我><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>)．这个例子是零维理想的一个最简单的例子。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>素初等理想</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>理想有两种基本类型:首要理想和初级理想。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.4</b>gydF4y2B一个一个理想的I (<米在h><米row><米o>⊂</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>)是质数，如果<米在h><米row><米我>我</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>,如果<米在h><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>,然后<米在h><米row><米我>x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>或<米在h><米row><米我>y</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.5</b>gydF4y2B一个理想的I是初级的，如果<米在h><米row><米我>我</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>,如果<米在h><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>,然后<米在h><米row><米我>x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>或<米在h><米row><米年代up><米i> y</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ∈</米o><米我>我</米我></米row></米ath>对于一些<米在h><米row><米我>n</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>；也就是说，每一个的零除数<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>nil-potent。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例2.13</b><米在h><米row><米row> <mo> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>是首要的理想。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.14</b>P＝<gydF4y2B一个米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>是首要的理想:<米在h><米我>x</gydF4y2Ba米我></米在h>和为零<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>因子在<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>P</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>；<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>∈</米o><米我>P</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米年代up><米i> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>∈</米o><米我>p</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>例4.15每一个素理想<米在h><米我>p</gydF4y2Ba米我></米在h>是主要的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <p>在仿射代数集中，这两个性质是等价的。</p><ul><l我>理想的<米在h><米我>我</米我></米在h>是首要的理想。</l我><l我><米在h> <mrow> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是不可约的。</l我></ul></d我v> <div class="heading3"> <h1>变化与理想之间的对应关系</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>为了统一代数和几何的观点，让我们回顾一下变与理想之间的对应关系。有通讯:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米text> 的理想</米text><米我>k</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> <mo> ｝</米o></米row><米under accentunder="true"> <mi> V</米我><米o年代tretchy＝"true"> →</米o></米under><米o> ｛</米o><米text>子集</米text><米text></mtext> <mi> X</米我><米text></米text> <mtext> 的</米text><米text></mtext> <msup> <mi> k</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 而且</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mo> ｛</米o><米text>子集</米text><米text></mtext> <mi> X</米我><米text></米text> <mtext> 的</米text><米text></mtext> <msup> <mi> k</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ｝</米o><米under一个ccentunder="true"> <mi> 我</米我><米o年代tretchy＝"true"> →</米o></米under><米row> <mo> ｛</米o><米row><米text> 的理想</米text><米我>k</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>在理想的<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>和各种<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>在前面的小节中定义。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>也有一对一的对应:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米text> 激进的理想</米text><米我>k</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </mtd> <mtd> <mo> ↔</米o></米td><米td> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米text> 品种</米text><米我>X</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>k</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∪</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msup> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∪</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米text> '的理想</米text><米我>k</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </mtd> <mtd> <mo> ↔</米o></米td><米td> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米text> 不可约的品种</米text><米我>X</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>k</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> ｝</米o></米row><米o>．</米o></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.16</b>gydF4y2B一个对于理想<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米年代问rt><米i> J</米我></米年代问rt><米o> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．我们有<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代问rt><米i> 我</米我></米年代问rt></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.17</b>gydF4y2B一个对于非素理想<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>∪</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>当我们计算或分析的时候<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>对于理想<米在h><米我>我</米我></米在h>，也许我们一起工作比较方便<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代问rt><米i> 我</米我></米年代问rt></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>或者它的不可约分量<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>因为定义理想会更简单。“分而治之”的原理在符号计算中同样有效。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>诺特环</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p><b>定义4.6</b>gydF4y2B一个当一个环是有限生成时，它就是诺埃斯环。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>这意味着没有无限上升的理想序列:如果有一个上升的理想序列，这样</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⊆</米o><米n>．．.</米n><米o>⊆</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>我</米我><米row><米我> k</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ⊆</米o><米年代ub><米我>我</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ⊆</米o><米年代ub><米我>我</米我><米row><米我> k</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ⊆</米o><米n>．．.</米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 它终止于以下意义:</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <msub> <mi> 我</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代ub><米我>我</米我><米row><米我> n</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <b>例4.18</b><米在h><米row><米i> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是Noeterian戒指。如果在这些环中有一个计算过程可以产生理想的上升序列，那么它必须在有限的步骤之后终止。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.19</b>gydF4y2B一个如果R是一个诺埃斯环，那么<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>是Noetherian(作为希尔伯特基定理的结果)[3]。根据归纳，也是诺埃斯环。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.20</b>gydF4y2B一个幂级数环<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米row><米o> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是诺埃斯环。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>例4.21如果R是一个诺埃斯环，I是一个双面理想环(这样对于<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米我>一个</米我><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>我</米我><米我>一个</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>)，则剩余类环为<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>诺特。换句话说，诺埃斯环的满射环同态的像是诺埃斯的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>维度和克鲁尔维度</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>设X是一个拓扑空间。X的维数是X的不可约闭子集的链的长度的最大值。链是包含关系如下:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> X</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⊊</米o><米年代ub><米我>X</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⊊</米o><米n>．．.</米n><米o>⊊</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>X</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们已经知道，对于一个素理想P，仿射代数集<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>P</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是一个不可约闭子集。因此，我们定义了一种与素理想相关的维度。为了一个最初的理想<米在h><米我>p</gydF4y2Ba米我></米在h>，我们可以构造长度为n的质数理想链</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> p</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⊊</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⊊</米o><米n>．．.</米n><米o>⊊</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米我>p</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 与首相的理想<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>、……<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>．链不一定是唯一的，我们用高度表示链的最大长度(<米在h><米我>p</gydF4y2Ba米我></米在h>）．环的库尔维数是其中质数理想的可能链的最大长度<米在h><米我>一个</米我></米在h>．我们用dim来表示它<年代ub>k</gydF4y2B一个年代ub>（一)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>回想一下，对于两个基本理想<米在h><米row><米我>p</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>问</米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>p</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>⊃</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>问</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>；包含是相反的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.22</b>gydF4y2B一个我们有昏暗的<年代ub>k</gydF4y2B一个年代ub>ℝ（x_1、x_2……，x_n]=n, because the maximal chain of primes ideals is given by<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row><米o>⊂</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米n>．．.</米n><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>一个通常指的是剩余类环的克鲁尔维数<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>由"理想我的维度"最小素理想<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>理想是I本身(当I是质数时)或极小值<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>包括I(正如人们可能研究的非质数理想I)，维度计数从<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>作为出发点。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.23</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>在<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．这个理想不是最好的。为了计算理想I的维数，质数链由<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>⊂</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>或<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>⊂</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>,因为<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>最小质数理想结束了吗<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．因此<米在h><米row><米我>昏暗的</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mn> 1</米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.24</b>gydF4y2B一个设f是环上的多项式<米在h><米我>年代</米我></米在h>维数n，(比如，<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>)．我们假设f不是零除数，即没有元素<米在h><米row><米我>g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>这样<米在h><米row><米我>g</米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>它是不可逆的，也就是说，不存在g∈S这样的元素<米在h><米row><米我>g</米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．然后<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>维n - 1。一个简单的例子是<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，即方程定义的直线<米在h><米row><米我>y</米我><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>这些例子似乎是微不足道的，但要求我们有一定数量的技术证明来证明这些陈述的有效性。(参见[5]中的参数。)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>零维理想</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>正如我们所看到的，一个理想的我在一个环<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>由多项式的集合定义。的点<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，为生成多项式的零点，确定仿射代数集<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．如果仿射代数集<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是一个离散集，理想I称为“零维”。如果我们必须解多项式的集合，我们必须用零维理想，在那里我们将找到解作为离散的点集合。对于一般情况，找到零集是相当困难的。因此，预见一个理想是否为零维是很重要的。理想为零维的标准是由Gröbner基础理论给出的，我们将在后面看到。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Nullstellensatz</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>假设k是一个代数闭场。</p><p><b>gydF4y2Ba定理4.1</b>gydF4y2B一个弱Nullstellensatz让<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>k</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>做一个理想的(不同于。<米在h><米row><米我>k</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>本身),然后<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>非空的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定理4.2</b>（Null年代tellen年代在z)让<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>k</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>,然后<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代问rt><米我>我</米我></米年代问rt></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>环和扎里斯基拓扑的谱</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>由于多项式的集合定义了几何对象，我们可以采用几何的观点。在这一节中，我们可以看到一些。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>当一个变种不是空的，也不是两个固有子变种的并集时，我们说它是不可约的。<米在h><米row><米我>X</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米我>X</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∪</米o><米年代ub><米我>X</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米text> 为</米text><米年代ub><米我> X</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米text> </mtext> <mtext> 而且</米text><米text></mtext> <msub> <mi> X</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⇒</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米年代ub><米我>X</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米text> 或</米text><米我>X</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米我>X</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>对于环S中的质数理想P，是不可约的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>对于环，我们用</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>规格(A) = {A的素理想}</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>为<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>规格(<米在h><米我>一个</米我></米在h>）和不可约的子变种<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mtext> 规范</米text><米row><米o> （</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>↔</米o><米o>｛</米o><米text></米text> <mtext> 不可约sub-varities</米text><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>｝</米o><米o>．</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 中的每一个极大理想(因此是素数)<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>用一个代数封闭场<米在h><米我>K</gydF4y2Ba米我></米在h>（如<米在h><米我>ℂ</gydF4y2Ba米我></米在h>我有理想的形式<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>对于一些点<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．(注意，万一<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米我>K</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>)。Hence在那里是一个one-to-one correspondence</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>↔</米o><米text>m-Spec</gydF4y2Ba米text></米row></math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>通过</p><p><米在h><米row> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>↔</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>Zariski拓扑的种类繁多<米在h><米我>X</gydF4y2Ba米我></米在h>是通过假设子品种来定义的<米在h><米row><米我>Y</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>X</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是封闭的集合，因此一个多样性的集合和交集也是封闭的集合。对于代数封闭场<米在h><米我>K</gydF4y2Ba米我></米在h>，这两个表述是有效的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para nulletsno" style="margin-top:2%"> <ul> <li>(i)任意递减链<米在h><米row><米年代ub><米i> V</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⊃</米o><米年代ub><米我>V</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⊃</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o></米row></米在h>的品种<米在h><米row><米年代up><米i> K</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>最终终止。</l我><l我>(2)因此任何非空集合<米在h><米row><米年代up><米i> K</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>有一个最小元素。</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>一个满足闭合子集降链条件的变种称为诺埃斯类。观察到，当我们定义了诺埃斯环时，诺埃斯变体的链是下降的，而理想的链是上升的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们在Spec中定义了另一种类型的拓扑(<米在h><米我>一个</米我></米在h>）：规范的Zariski拓扑(<米在h><米我>一个</米我></米在h>），其中闭集的形式为</p><p><米在h><米row> <mi> V</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>我</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mo> ｛</米o><米我>P</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米text>规范</米text><米row><米row> <mo stretchy="false"> （</米o><米我>一个</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米o>|</米o></米row><米我> P</米我><米o>⊃</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>｝</米o></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>变种和规格的两种Zariski拓扑(<米在h><米我>一个</米我></米在h>）具有相似的性质。里德书[4]第5章给出了比较。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>唯一分解环</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p><b>定义4.7</b>gydF4y2B一个积分域是一个非零交换环，其中任意两个非零元素的乘积都非零。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.25</b><米在h><米row><米i> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是积分域。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.8</b>gydF4y2B一个唯一因子分解域(UFD)是一种积分域，其中任何非零元素都由环上的不可约元素进行唯一因子分解。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.26</b><米在h><米我>ℤ</米我></米在h>是一个UFD。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.27</b>gydF4y2B一个为一个字段<米在h><米我>F</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米row><米我>F</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>是一个UFD。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.28</b>gydF4y2B一个对UFD<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>是一个UFD。通过感应,<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是一个UFD。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>在最后一个例子中，<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>UFDs。因此，这些环中的任何多项式都有唯一的因式分解。然而，有很多例子不是唯一的因式分解域。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.29</b><米在h><米row><米i> R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>X</米我><米o>，</米o><米我>Y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>Z</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>W</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>X</米我><米我>Y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>Z</gydF4y2Ba米我><米我>W</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>不是一个UFD，因为它允许对一个元素进行两种不同的分解:<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米我>Y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>Z</gydF4y2Ba米我><米我>W</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>完成:泰勒展开的形式化描述</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>在分子轨道理论的计算机代数计算中，如导论中所介绍的，我们用多项式逼近能量函数。我们只需将超越函数替换为能量泛函(如<米在h><米row><米text> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>或<米在h><米row><米我>e</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>B</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>用相应的形式幂级数，在一定程度上截断这些级数。为此，我们在原子距离的某个中心点对变量进行泰勒展开。如果我们增加泰勒展开式的最大度数，计算将通过精确的解析能量泛函收敛到无穷大。这种情况可以用数学的形式语言表示。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>为了给出泰勒展开的形式化描述，我们需要几个定义。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>对于一个环S，一个由固有理想幂的“过滤”，我可以写成如下:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msup> <mi> F</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> 年代</米我><米row><米o>（</米o><米row><米text> </mtext> <mo> ：</米o><米o>＝</米o><米我>年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>⊃</米o><米年代up><米我>F</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> 年代</米我><米row><米o>（</米o><米row><米text> </mtext> <mo> ：</米o><米o>＝</米o><米我>我</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>⊃</米o><米年代up><米我>F</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> 年代</米我><米o>⊃</gydF4y2Ba米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>⊃</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>F</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> 年代</米我><米row><米o>（</米o><米row><米text> </mtext> <mo> ：</米o><米o>＝</米o><米年代up><米我>我</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>⊃</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 序列由包含关系给出。过滤决定了i型拓扑的Krull拓扑。一个“逆系统”是一组代数对象<米在h><米row><米年代ub><米row> <mo stretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row><米row> <mi> j</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>，它由索引J定向，顺序为<米在h><米o>≤</gydF4y2Ba米o></米在h>．在逆系统中，我们有一个同态映射族，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ：</米o><米年代up><米我>一个</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> →</米o><米年代up><米我>一个</米我><米我>我</米我></米年代up></米row> </math>对于所有I≤j</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米我>我</米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 而且</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mtext> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mtext> </mtext> <mi> ο</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米row><米我> j</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>I≤j≤k</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．的<米在h><米row><米年代up><米i> F</米我><米我>我</米我></米年代up><米我> 年代</米我><米row><米o>（</米o><米row><米o>：</米o><米o>＝</米o><米年代up><米我>我</米我><米我>我</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>理想在哪里?<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>，由度的单项式生成<米在h><米我>我</米我></米在h>在<米在h><米我>年代</米我></米在h>．我们还假设包含是在理想的意义上给出的，因此由低阶单体产生的理想应该包含由高阶单体产生的理想。我们设置<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米我>年代</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>F</米我><米我>我</米我></米年代up><米我> 年代</米我></米row></米ath>通过商环。因此，在<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米我>年代</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>F</米我><米我>我</米我></米年代up><米我> 年代</米我></米row></米ath>这个有限多项式，里面有一元项吗<米在h><米row><米年代up><米i> F</米我><米我>我</米我></米年代up><米我> 年代</米我></米row></米ath>是无效的,<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>是用多项式的集合来表示的<米在h><米row><米我>我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．操作的地图从<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>F</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> 年代</米我></米row></米ath>来<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>F</米我><米我>我</米我></米年代up><米我> 年代</米我></米row></米ath>就是去掉高阶的多项式缩短多项式。在泰勒展开的多项式近似情况下，映射是较细近似到较粗近似的投影。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>逆系统可以粘在一起作为一个数学结构，称为“逆极限”(或“投影极限”)。反极限表示并定义为</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>＝</米o><米text></米text> <munder accentunder="true"> <mrow> <mi> lim</米我></米row><米o年代tretchy="true"> ←</米o></米under><米text> </mtext> <msub> <mi> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米text> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mo> ｛</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米row><米row><米年代tyle displaystyle="true"> <munder> <mo> ∏</米o><米row><米我>j</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米under> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </mstyle> </mrow> <mo> |</米o></米row><米年代ub> <mi> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米text> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo stretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米text></米text> <mi> f</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>r</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> 一个</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> 我</米我><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 逆极限A有自然投影<米在h><米row><米我>π</米我><米o>：</米o><米我>一个</米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>(通过它我们可以提取<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>)．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>逆极限是环的“补全”<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>关于<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>，当按以下方式取商环的逆极限时:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mover accent="true"> <mi> 年代</米我><米o>＾</米o></米over><米我> 我</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米under一个ccentunder="true"> <mrow> <mtext> lim</米text></米row><米o stretchy="true"> ←</米o></米under><米row> <mo> （</米o><米row><米我>年代</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>我</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> 年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mover accent="true"> <mi> 年代</米我><米o>＾</米o></米over><米我> 我</米我></米年代ub></米row> </math>是形式幂级数的环吗<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米row><米o> ［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>，通过自然投影，可以用有限多项式任意逼近形式幂级数。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.30</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米text> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．让<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．<米在h><米row><米我>F</米我><米年代up><米我> 年代</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>多项式的集合是这种形式的吗<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> f</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>．</米o></米row></米在h>泰勒扩张<米在h><米row><米text> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>到学位<米在h><米row><米我>j</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米年代up> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>j</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>！</米o></米row><米o>）</米o></米row><米年代up> <mi> x</米我><米row><米我> j</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </math>,位于<米在h><米row><米我>F</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>F</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> 年代</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>．的逆极限<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>,即<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米row><米o> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>的形式幂级数<米在h><米row><米text> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米年代up> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>n</gydF4y2Ba米我><米o>！</米o></米row><米o>）</米o></米row><米年代up> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> +</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o></米row></米在h>定义。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们可以假设形式的幂级数<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米row><米o> ［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>表示“胶合”泰勒展开式的逆极限。在分子轨道理论的代数公式中，通过逆极限，我们可以将不同级别的多项式近似与最大多项式次捆绑在一起。因此，自然映射π意味着模型的选择。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>这样的数学形式在实践中似乎只会使问题复杂化，但在理论上引入一个整洁的“拓扑”是很重要的。该拓扑结构是这样构造的:环s中的一个对象(即多项式)s具有嵌套(或集中)的邻域;社区的开放基础是由适当理想的力量产生的<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>并表示为</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>我</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> 年代</米我><米text></米text> <mtext> 为</米text><米text></mtext> <mi> x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 我们在拓扑学的意义上说“开放基”。如果读者对拓扑学不熟悉，可以简单地想象一个多项式周围的多项式被筛分成不同的类，这些类用上面的形式表示。理想的力量<米在h><米我>我</米我></米在h>作为多项式之间距离的指示器。在拓扑术语中，补全构成了一个“完整”拓扑空间。如果我们考虑在一点处的泰勒展开的逆系统<米在h><米我>X</gydF4y2Ba米我></米在h>的正式社区<米在h><米我>X</gydF4y2Ba米我></米在h>应该小到足以使泰勒级数收敛。</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <b>例4.31</b>gydF4y2B一个考虑从<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>/</米o><米年代up><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代up> <mi> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>来<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>/</米o><米年代up><米我>x</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>和对应的逆系统。现在<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代up><米i> F</米我><米我>我</米我></米年代up><米我> 年代</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>我</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米我> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>．一个多项式<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>在<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>是否有邻域的开放基，这是由形式的集合给出的</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>对多元情况的扩展<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>很简单。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们用稍微不同的视角来解读社区。任何多项式的图像都在<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>/</米o><米年代up><米我>x</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>．因此周围有不同类别的多项式，用幂为零的ε表示如下，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mo> ｛</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我><米我>ε</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mtext> 这样的</米text><米text></mtext> <mtext> 那</米text><米text></mtext> <msup> <mi> ε</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米text> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mn> 0</米n><米o>｝</米o></米row></米在h> <math> <mrow> <mo> ｛</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> ε</米我><米text></米text> <mo> +</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> ε</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米text> 这样的</米text><米text></mtext> <mtext> 那</米text><米text></mtext> <msup> <mi> ε</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米text> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mn> 0</米n><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 同样的,</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mo> ｛</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munderover> <mo> ∑</米o><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> n</米我></米underover> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> ε</米我><米我>我</米我></米年代up></米row> </mstyle> <mtext> 这样的</米text><米text></mtext> <mtext> 那</米text><米text></mtext> <msup> <mi> ε</米我><米row><米text> n</米text><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mtext> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mn> 0</米n><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mo> ｛</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munderover> <mo> ∑</米o><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> n</米我></米underover> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> ε</米我><米我>我</米我></米年代up></米row> </mstyle> <mtext> 这样的</米text><米text></mtext> <mtext> 那</米text><米text></mtext> <msup> <mi> ε</米我><米row><米text> n</米text><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mtext> </mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mn> 0</米n><米o>｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="heading3"> <h1>本地化</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> 让<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是一个多项式函数的环。我们可以考虑有理函数(或分数)<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <mi> f</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mrow> <mi> g</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </mfrac> </mrow> </math>为<米在h><米row><米我>f</米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．这种分数是在一个子集上局部确定的<米在h><米我>X</gydF4y2Ba米我></米在h>在<米在h><米row><米年代up><米i> ℝ</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>,这样<米在h><米row><米年代up><米i> ℝ</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> g</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>≠</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．对于一个不动点<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，我们定义that的子集<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米o>｛</米o><米text></米text> <mi> p</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>∈</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> p</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>≠</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>然后，对在<米在h><米row><米我>R</米我><米o>×</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>,表示<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>,这些碎片<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>可以定义良好，尽管它是一个“局部函数”。分数的集合在乘法和加法下必须是封闭的。此外，两对之间的等价关系<米在h><米row><米我>R</米我><米o>×</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是由<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>≡</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>＇</米o><米o>，</米o><米我>年代</米我><米o>＇</米o></米row><米o>）</米o></米row><米o>⇔</米o><米我>一个</米我><米我>年代</米我><米o>＇</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我><米o>＇</米o><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米n>0.</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>在交换代数中，“局部化”的定义更为一般。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.9</b>gydF4y2B一个让我们成为一个戒指。</p><ul><l我>一个子集<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>“乘法闭合”是if吗<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>一个</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>对所有<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>．</l我><l我>为<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>和它的乘法闭子集<米在h><米我>年代</米我></米在h>中两个元素之间的等价关系<米在h><米row><米我>R</米我><米o>×</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是由</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>∼</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>＇</米o><米o>，</米o><米我>年代</米我><米o>＇</米o></米row><米o>）</米o></米row><米o>⇔</米o><米text></米text> <mtext> 在那里</米text><米text></mtext> <mtext> 是</米text><米text></mtext> <mtext> 一个</米text><米text></mtext> <mtext> 元素</米text><米text></mtext> <mi> u</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我><米text></米text> <mtext> 这样的</米text><米text></mtext> <mtext> 那</米text><米text></mtext> <mi> u</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米我>年代</米我><米o>＇</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我><米o>＇</米o><米我>年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 然后是等价类集</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <msup> <mi> 年代</米我><米row><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mi> R</米我><米o>：</米o><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米row><米row> <mfrac> <mi> 一个</米我><米我>年代</米我></米fr一个c></mrow> <mo> |</米o></米row><米我> 一个</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>年代</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>本地化是at吗<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>它是一个有加法和乘法的环，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mfrac> <mi> 一个</米我><米我>年代</米我></米fr一个c><米o> +</米o><米fr一个c><米row> <mi> 一个</米我><米o>＇</米o></米row><米row> <mi> 年代</米我><米o>＇</米o></米row></米frac> <mo> ＝</米o><米fr一个c><米row> <mi> 一个</米我><米我>年代</米我><米o>＇</米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我><米o>＇</米o><米我>年代</米我></米row><米row> <mi> 年代</米我><米我>年代</米我><米o>＇</米o></米row></米frac> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>而且</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mfrac> <mi> 一个</米我><米我>年代</米我></米fr一个c><米o> ⋅</米o><米fr一个c><米row> <mi> 一个</米我><米o>＇</米o></米row><米row> <mi> 年代</米我><米o>＇</米o></米row></米frac> <mo> ＝</米o><米fr一个c><米row> <mi> 一个</米我><米我>一个</米我><米o>＇</米o></米row><米row> <mi> 年代</米我><米我>年代</米我><米o>＇</米o></米row></米frac> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.32</b>gydF4y2B一个设P是环中的一个素理想<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．作为一组<米在h><米row><米我>R</米我><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米o>＼</米o><米我>P</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是乘法封闭的，我们本地化吗<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>通常用s表示<米在h><米row><米年代ub><米i> R</米我><米我>P</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>称为R在素理想p处的定域性，这个定域性正好有一个最大理想<米在h><米row><米我>P</米我><米年代ub><米我> R</米我><米我>P</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>．特别是,对<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>P</米我><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米我>f</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米row><米我>R</米我><米o>|</gydF4y2Ba米o></米row><米我> f</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>一个</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mtext> 为</米text><米text></mtext> <mtext> 一个</米text><米text></mtext> <mtext> 点</米text><米text></mtext> <mi> 一个</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>ℝ</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米年代ub><米i> R</米我><米我>P</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>有理函数的集合是否有很好的定义<米在h><米我>一个</米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.33</b>gydF4y2B一个让<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>是交换环，让<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>中的非幂零元素<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．乘法闭子集<米在h><米我>年代</米我></米在h>是由<米在h><米row><米o>｛</米o><米text></米text> <msup> <mi> f</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> n</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>｝</米o></米row></米在h>．本地化<米在h><米row><米年代up><米i> 年代</米我><米row><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mi> R</米我><米o>＝</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>f</米我><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米o>＝</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代up><米i> f</米我><米row><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> <mo> ］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.34</b>gydF4y2B一个让<米在h><米row><米我>X</米我><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>(一个由理想定义的仿射代数集<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>)．考虑环<米在h><米row><米我>一个</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．为一个点<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>在<米在h><米我>x</gydF4y2Ba米我></米在h>设在,函数<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>等于零。所以<米在h><米row><米我>y</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>应该与?中的元素相等<米在h><米row><米年代up><米i> 年代</米我><米row><米o年代tretchy="false"> （</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米年代up> <mi> R</米我></米row></米ath>与<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米o>｛</米o><米text></米text> <mi> f</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> f</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>≠</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米在h>．事实上<米在h><米row><米我>x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>x</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>y</米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>在<米在h><米row><米我>一个</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>,虽然<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>y</米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>在<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．因此等价于<米在h><米row><米我>y</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>是证明。这个论点对…无效<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>,因为<米在h><米row><米我>x</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>在这一点上，它不在<米在h><米我>年代</米我></米在h>）。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.35</b>gydF4y2B一个考虑长期方程<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>根是由<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>t</米我><米o>，</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>t</米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>，它们在仿射代数集中<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>的理想<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>在<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．让<米在h><米row><米我>P</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米o>＼</米o><米我>P</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．自<米在h><米我>我</米我></米在h>由另一个基集表示(由具有字典顺序的Gröbner基<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>),<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>y</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>由此可见,</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>年代</米我><米row><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mi> R</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>y</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>因为<米在h><米row><米我>e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>不在<米在h><米我>P</gydF4y2Ba米我></米在h>它是一个可逆元素<米在h><米row><米年代up><米i> 年代</米我><米row><米o年代tretchy="false"> （</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米年代up> <mi> R</米我></米row></米ath>．理想的<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>年代</米我><米row><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mi> R</米我></米row></米ath>描述仿射代数如何集<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>看起来像"在这附近<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>．事实上,特征值<米在h><米我>e</gydF4y2Ba米我></米在h>行列式的根是多少<米在h><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>和抛物线<米在h><米row><米我>f</米我><米o>＝</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>看起来像<米在h><米row><米我>g</米我><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>在本地<米在h><米row><米我>e</米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>完整性</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>考虑商环的扩展<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米年代ub><米我>我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⊂</米o><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们说<米在h><米row><米over一个ccent="true"> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo stretchy="true"> ¯</米o></米over><米o>＝</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米我>我</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>当满足以下条件时:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.10</b>gydF4y2B一个让<米在h><米row><米我>R</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>做一个分机。一个元素<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>如果它满足一个一元多项式方程<米在h><米row><米年代up><米i> 年代</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> +</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> 年代</米我><米row><米我> d</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mo> +</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>与<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>对所有<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>如果每个元素<米在h><米我>年代</米我></米在h>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>，然后<米在h><米我>年代</米我></米在h>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．我们说<米在h><米我>年代</米我></米在h>是的积分扩展吗<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．下面这些陈述成立:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <p>下面这些陈述成立:</p><ul><l我>如果<米在h><米row><米年代ub><米i> 年代</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>年代</米我><米我>米</米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> 年代</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>年代</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．</l我><l我>积分扩展的连续就是积分扩展。如果<米在h><米我>年代</米我></米在h>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>是S的积分，那么是<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>积分<米在h><米我>年代</米我></米在h>．</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.36</b><米在h><米row><米i> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>→</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>不是一个积分扩展。从几何的角度来看，通过这个映射(通过反转方向)，我们得到了双曲线的投影<米在h><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>来<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>设在。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>没有任何意义<米在h><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>哪个投影到这个点上<米在h><米row><米我>y</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>在<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>-轴，而任何其他点在<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>-轴有一个原像<米在h><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.37</b>gydF4y2B一个将坐标变化应用到上面的例子中:<米在h><米row><米我>x</米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米我>t</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>y</米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>．然后我们获得<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>年代</米我><米o>］</米o></米row><米o>→</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>t</米我><米o>，</米o><米我>年代</米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米我>年代</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>，这是一个积分扩展。从几何的观点来看，两个环之间的对应关系给出了到双曲线的投影<米在h><米row><米我>t</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>t</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>来<米在h><米我>t</gydF4y2Ba米我></米在h>设在。凡事总有两面性<米在h><米row><米我>t</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>t</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,即<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米row><米o> （</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米我>年代</米我><米o>±</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米row><米年代up> <mi> 年代</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n></米row></米年代问rt> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米我>年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，投影到s轴上的任意点s上。这种多项式映射的坐标变化(可能是非线性的)使我们能够获得环的积分扩展，即使映射的定域不是积分扩展(诺埃斯归一化)[2]。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.38</b>gydF4y2B一个考虑到理想<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．<米在h><米我>我</米我></米在h>代表一个简单的长期方程<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>→</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>e</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>不是一个积分扩展。事实上,<米在h><米我>我</米我></米在h>可以用另一组基表示吗<米在h><米row><米o></米o> <mrow> <mo> （</米o><米row><米o>−</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，但没有一个monic方程<米在h><米我>e</gydF4y2Ba米我></米在h>．人们找不到其中的意义<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>哪个被投影到非零向量上<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>除非e取特定的值(特征值)。本例是一个使用Gröbner base进行完整性检查的应用程序。(这个有用的想法将在后面阐述。)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>归一化</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>让我们考虑一条曲线<米在h><米row><米年代up><米i> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>在<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>，如图2所示。曲线在点处有奇点<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>在两个分支相交的地方。让<米在h><米row><米我>t</米我><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．然后<米在h><米row><米我>y</米我><米o>＝</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米年代up><米i> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>,<米在h><米row><米年代up><米i> t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>．这些方程构成了一个理想状态<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>y</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米年代up><米我>t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>在<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．仿射代数变换<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>没有奇点，它映射到曲线上<米在h><米row><米年代up><米i> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>通过投影到<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"figure"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto;border:1px solid #8dc449;"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto"> <center> <button type="" class="imagebutton" data-toggle="modal" data-target="#myModal2" style="margin-top:2%;"><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure2 JMRR-118.jpg" style="width:100%"></button> </center>  <div class="modal fade" id="myModal2" role="dialog" style="margin-top:90px"> <div class="modal-dialog">  <div class="modal-content"> <div class="modal-header"> <button type="" class="close" data-dismiss="modal">×</but来n><d我vcl作为年代＝"figuredata"> <p>图2</p></d我v></d我v><d我v class="modal-body"> <p><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure2 JMRR-118.jpg" style="width:100%;"></p> </div> <div class="modal-footer"> <div class="row"> <div class="col-md-10"> <div class="figuredata"> <p>曲线y<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>= x<gydF4y2B一个年代up>3.．</gydF4y2B一个年代up>+ x<gydF4y2B一个年代up>2</gydF4y2B一个年代up>奇点在(0;0)。</p></d我v></d我v><d我v class="col-md-2"> <button type="button" class="btn btn-default" data-dismiss="modal">关闭</but来n></d我v></d我v> </div> </div> </div> </div> <div class="figuredata1"> <p><b>图2:</b>gydF4y2B一个曲线y<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>= x<gydF4y2B一个年代up>3.．</gydF4y2B一个年代up>+ x<gydF4y2B一个年代up>2</gydF4y2B一个年代up>奇点在(0;0)。</p></d我v></d我v></div> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>这是奇异解的一个例子。这种程序属于一个更广泛的“正常化”概念。如果<米在h><米我>年代</米我></米在h>是一个积分域，它的归一化<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> 年代</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>积分闭包是<米在h><米我>年代</米我></米在h>的商域(分数域)中<米在h><米我>年代</米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.11</b>（正常)<米在h><米我>年代</米我></米在h>是分数场的积分域<米在h><米我>K</gydF4y2Ba米我></米在h>．设f是任意的一元多项式<米在h><米row><米我>年代</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>．如果每个根<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>K</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>也在<米在h><米我>年代</米我></米在h>，然后<米在h><米我>年代</米我></米在h>是正常的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.39</b>gydF4y2B一个可以证明每一个UFD都是正常的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.12</b>（规范化)让<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>是一个具有恒等的交换环。正常化<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>元素的集合是分数的场吗<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>满足一个带系数的一多项式<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.40</b>gydF4y2B一个注意，在上面的例子中，<米在h><米我>t</gydF4y2Ba米我></米在h>的商域<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>，观察这个方程<米在h><米row><米年代up><米i> t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>一个保证t是对的积分的一元多项式吗<米在h><米我>年代</米我></米在h>．事实上，为了证明奇异的这种分解就是字面上的归一化，我们有必要做详细的论证。所以我们现在省略它。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.41</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．通过设置<米在h><米row><米我>x</米我><米o>＝</米o><米年代up><米我>t</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>y</米我><米o>＝</米o><米年代up><米我>t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>，坐标环<米在h><米row><米我>C</米我><米o年代tretchy＝"false"> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>≃</gydF4y2Ba米o><米我>C</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ［</米o><米年代up><米我>t</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米年代up><米我>t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o年代tretchy="false"> ］</米o></米row></米在h>．让我们表示<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代up><米i> t</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米年代up><米我>t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>通过<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．然后<米在h><米我>t</gydF4y2Ba米我></米在h>是多项式的根吗<米在h><米row><米年代up><米i> 年代</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>在<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米我>年代</米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>,<米在h><米row><米我>t</米我><米o>∉</gydF4y2Ba米o><米我>ℂ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．因此<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是不正常的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.42</b>gydF4y2B一个在上述奇异解的例子中，t包含在归一化中<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．因为t是的根<米在h><米row><米年代up><米i> 年代</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>∈</米o><米我>ℂ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米我>年代</米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>的每一个元素<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>也是某个一元多项式的根<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米我>年代</米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>．(为了证明这个命题的有效性，我们需要一些交换代数的论证)因此，<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>在标准化<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．除此之外,<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>为UFD，因此是正常的。因此<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>就是正常化<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>（</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>其实这个程序找一个归一化的<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>是去找另一枚戒指<米在h><米row><米over一个ccent="true"> <mi> 年代</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> y</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我><米o>＇</米o></米row></米在h>用归一化映射<米在h><米我>年代</米我></米在h>↪<gydF4y2Ba米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> 年代</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>．Decker等人的算法使我们能够计算这种归一化。如果<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．...</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>是根式理想，由算法归一化应给出理想的分解<米在h><米我>我</米我></米在h>．计算返回s个多项式环<米在h><米row><米年代ub><米i> R</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>R</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>和最初的理想<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>⊂</米o><米年代ub><米我>R</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>我</米我><米我>年代</米我></米年代ub><米o> ⊂</米o><米年代ub><米我>R</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>和年代的地图<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> π</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ：</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>R</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ，</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米我>年代</米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math>这样诱发的地图<米在h><米row><米我>π</米我><米o>：</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>R</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>/</米o><米年代ub><米我>我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>×</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>×</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>R</米我><米我>年代</米我></米年代ub><米o> /</米o><米年代ub><米我>我</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>的目标<米在h><米我>π</gydF4y2Ba米我></米在h>（商环的乘积)是归一化。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>正如我们将在第6节中看到的，初级理想分解是本值问题解的替代。在代数的多样化的去英格化过程中，我们再次遇到理想的分解，这并不那么令人惊讶。长期方程为</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米text> </mtext> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米我> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <msub> <mi> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米row><米我> 我</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <msub> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米row><米我> 我</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <msub> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米我>ε</gydF4y2Ba米我><米年代ub><米我> x</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ，</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我><米text></米text> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>或</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米text> </mtext> <mn> 0</米n><米o>＝</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米o>＝</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米row><米我> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <msub> <mi> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米row><米我> 我</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <msub> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米row><米我> 我</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <msub> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> −</米o><米我>ε</gydF4y2Ba米我><米年代ub><米我> x</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ，</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我><米text></米text> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>那我们就得找到<米在h><米我>ϵ</gydF4y2Ba米我></米在h>哪一个能给出矩阵方程的非零解</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米我>ε</gydF4y2Ba米我></米row></米td> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>1</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米我>ε</gydF4y2Ba米我></米row></米td> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>2</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米我> n</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米我> n</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米我> n</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米我>ε</gydF4y2Ba米我></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>注意左边的矩阵是雅可比矩阵</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> J</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米fr一个c><米row> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mrow> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mfrac> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>定义的代数仿射集的奇异轨迹<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>由雅可比矩阵的秩条件决定，即由雅可比矩阵不是满秩的条件决定。去英格化就是归一化，归一化会导致理想的分解，用的是Decker的算法。追踪[10,11]给出的归一化算法并不难。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们需要一些定义。让<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>．为<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>雅可比矩阵的理想<米在h><米row><米text> 江淮</米text><米row><米o> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>定义为<米在h><米row><米我>c</米我><米o>×</gydF4y2Ba米o><米我>c</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>矩阵的余子式</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mrow> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mrow> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> <mrow> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> <mrow> <mo> ∂</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>在那里,<米在h><米row><米我>c</米我><米o>＝</米o><米我>n</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米text>昏暗的</米text><米row><米o> （</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>与<米在h><米row><米我>X</米我><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．的奇异轨迹<米在h><米我>一个</米我></米在h>是由<米在h><米row><米text> 行</米text><米row><米o> （</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米text> 江淮</米text><米row><米o> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>+</米o><米我>我</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para bullets" style="margin-top:2%"> <p>然后我们按照以下步骤执行计算。</p><ul><l我>计算奇异轨迹<米在h><米我>我</米我></米在h>．让<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>要有一个激进的理想<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>包含这个奇异轨迹。</l我><l我>选择一个非零除数<米在h><米row><米我>g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>和计算<米在h><米row><米我>g</米我><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．对于同态<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>来<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>，用<米在h><米row><米text> 力宏</米text><米row><米o> （</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，对于非零除数<米在h><米我>x</gydF4y2Ba米我></米在h>在<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米row><米我>x</米我><米text>力宏</米text><米row><米o> （</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</l我><l我>让<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米o>：</米o><米o>＝</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>成为…的创造者<米在h><米row><米我>g</米我><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．这种形式有二次关系式<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <msub> <mi> g</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mi> g</米我></米fr一个c><米frac> <mrow> <msub> <mi> g</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mi> g</米我></米fr一个c><米o> ＝</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> k</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米我> 年代</米我></米underover> <msubsup> <mi> ζ</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ubsup> <mfrac> <mrow> <msub> <mi> g</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mi> g</米我></米fr一个c><米o> ，</米o><米text>与</米text><米年代ub年代up><米i> ζ</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ubsup> <mo> ∈</米o><米我>一个</米我></米row></米ath>．</l我><l我>也有线性关系<米在h><米row><米我>g</米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>(合词)形式的<米在h><米row><米underover> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> k</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米我> 年代</米我></米underover> <msub> <mi> η</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米frac> <mrow> <msub> <mi> g</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mi> g</米我></米fr一个c><米o> ＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></li> <li>然后给出一个满射映射<米在h><米row><米我>一个</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> T</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>T</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>↠</米o><米text>力宏</米text><米row><米o> （</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>，</米o></米row></米在h>↠<米在h><米row><米年代ub><米i> T</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ⇝</米o><米fr一个c><米row> <msub> <mi> g</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mi> g</米我></米fr一个c></mrow> </math></li> <li>这幅地图的核心是一个理想<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>由二次元和线性关系生成的形式<米在h><米row><米年代ub><米i> T</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代ub> <mi> T</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> −</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> k</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米我> 年代</米我></米underover> <msubsup> <mi> ζ</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ubsup> <msub> <mi> T</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ，</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> k</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米我> 年代</米我></米underover> <msub> <mi> η</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代ub> <mi> T</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math></li> <li>它得到的扩展<米在h><米我>一个</米我></米在h>通过<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>一个</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> T</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>T</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米年代ub><米我>我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math></li> <li>这枚戒指<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>可能是正常的。如果不行，我们做延期<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>一次。经过有限步骤的连续扩展，我们到达归一化。</l我><l我>•常态性的标准:<米在h><米我>一个</米我></米在h>是正常的当且仅当<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米row><米text> 力宏</米text></米row><米i> 一个</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．如果满足这个条件，我们就不需要额外增加<米在h><米row><米年代ub><米i> T</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>．然后算法停止。</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>考虑<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>在<米在h><米row><米我>ℚ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．让<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米我>ℚ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>．的雅可比矩阵<米在h><米我>我</米我></米在h>是<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mi> e</米我></米td><米td> <mi> y</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> e</米我></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mi> x</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>然后<米在h><米row><米text> 江淮</米text><米row><米o> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，或者更简单地说<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>,<米在h><米row><米text> 行</米text><米row><米o> （</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米text> 江淮</米text><米row><米o> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>+</米o><米我>我</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．(回想一下，I的Gröbner基础是<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米我>x</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math>)。因此我们组<米在h><米row><米我>J</米我><米o>＝</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>作为包含奇异轨迹的激进理想。选择<米在h><米我>x</gydF4y2Ba米我></米在h>的非零除数<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>．然后<米在h><米row><米我>x</米我><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>,因为<米在h><米row><米我>x</米我><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>中的元素消失<米在h><米我>一个</米我></米在h>．因此,<米在h><米row><米我>x</米我><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．让<米在h><米row><米我>T</米我><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>然后有两个线性关系</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米text></米text> <mi> e</米我><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 一个二次关系式</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <msup> <mi> T</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米fr一个c><米row> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mrow> <msup> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mfrac> <mo> ＝</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们有延伸环</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mtable columnalign="right"> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>＇</米o></米row></米td> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mi> 一个</米我><米row><米o>［</米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代up><米我>T</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow></mrow> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mi> ℚ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>T</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代up><米我>T</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>与理想的<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＇</米o><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代up><米我>T</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．这枚戒指<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＇</米o></米row></米在h>是正常的。的确，经过一些代数运算(实际上是通过计算机代数的手段)，我们可以检验的奇异轨迹<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>＇</米o></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>是一个空集。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>(我们通过Gröbner基础的计算来检查空值，它应该是由<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row></米row> </math>)。从这个理由出发，追求一个激进的理想<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>哪一个包含了奇异位点<米在h><米row><米我>J</米我><米o>＝</米o><米我>一个</米我><米o>＇</米o></米row></米在h>(环本身)。因此<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 力宏</米text></米row><米row> <mi> 一个</米我><米o>＇</米o></米row></米年代ub> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>一个</米我><米o>＇</米o></米row></米在h>并且满足正态性的判据。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>作为<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>是积分<米在h><米我>一个</米我></米在h>实际上<米在h><米row><米我>T</米我><米o>＝</米o><米o>±</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>在<米在h><米我>一个</米我></米在h>，理想的<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＇</米o></米row></米在h>可以用两种方式表示<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>：</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 我</米我><米我>一个</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 我</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>这两个理想就在于此<米在h><米row><米我>ℚ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．作为<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米我>一个</米我></米年代ub></米row> </math>是琐碎，我们采纳吗<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>为了标准化的目的。另外，当我们引入变量时<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>，我们隐含地假设<米在h><米row><米我>x</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．当<米在h><米row><米我>x</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,理想的<米在h><米我>我</米我></米在h>是由</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 我</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>我</米我><米年代up><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∩</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mrow> <mo> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>的归一化由两个环给出:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> ℚ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米年代ub><米我>我</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>ℚ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>而且</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> ℚ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米年代ub><米我>我</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米我>ℚ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>将所得结果与相同理想的初等理想分解实例进行比较<米在h><米我>我</米我></米在h>我们将在第6节中计算。我们观察到，归一化对理想进行了不完美的分解。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Hensel引理</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>考虑解方程的问题<br><米在h><米row><米我> f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>7</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h><br>让我们用<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>在<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>：<br><米在h><米row><米我> f</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mi> 米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mn> 3.</米n></米row></米在h><br>让<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>年代</米我></米row></米ath>．然后<br><米在h><米row><米我> f</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>年代</米我><米我>米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <msup> <mn> 3.</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math><br>因此,如果<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,然后<br><米在h><米row><米我> f</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>6.1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米我>米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <msup> <mn> 3.</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math><br>让<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米n>3.．</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> 年代</米我></米row></米ath>．然后<br><米在h><米row><米我> f</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米n>9</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>72</gydF4y2Ba米n><米我>年代</米我><米我>米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <msup> <mn> 3.</米n><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math><br>因此,如果<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,然后<br><米在h><米row><米我> f</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米n>9</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>71.1</gydF4y2Ba米n><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米我>米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <msup> <mn> 3.</米n><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>同样,通过设置<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代up><米n>3.．</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> 年代</米我></米row></米ath>，我们可以这样确定<米在h><米row><米我>f</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米我>米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <msup> <mn> 3.</米n><米row><米我>n</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </math>．这意味着我们得到了方程的三元解</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> X</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代up><米n>3.．</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>⋅</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 让我们考虑多项式<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>在<米在h><米row><米年代ub><米i> ℤ</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>．我们有</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>X</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米年代ub> <mi> Y</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>+</米o><米年代up><米我>p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米年代ub> <mi> Y</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代up> <mi> f</米我><米o>”</米o></米年代up><米row> <mo> （</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米我> 米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <msup> <mi> p</米我><米row><米我> n</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>因此,如果<米在h><米row><米年代up><米i> p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米年代up> <mi> f</米我><米o>”</米o></米年代up><米row> <mo> （</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>≢<米在h><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mi> 国防部</米我><米年代up><米我> p</米我><米row><米我> n</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </math>或者,同样,如果<米在h><米row><米年代up><米i> f</米我><米o>”</米o></米年代up><米row> <mo> （</米o><米我>α</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>≢<米在h><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米我>米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> p</米我></米row></米ath>,我们获得<米在h><米我>Y</gydF4y2Ba米我></米在h>这样<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>X</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> Y</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>≡</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mi> 国防部</米我><米年代up><米我> p</米我><米row><米我> n</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </math>的分数。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> Y</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米fr一个c><米row> <mi> f</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mrow> <mi> f</米我><米o>＇</米o><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </mfrac> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>在数值分析中观察与牛顿法的相似性。也就是说，的p进解<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>作为<米在h><米row><米underover> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米我> ∞</米我></米underover> <msup> <mi> p</米我><米我>我</米我></米年代up><米年代ub> <mi> Y</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>．这是亨塞尔引理，表述如下。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定理4.3</b>（Hen年代el引理)<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>∈</米o><米年代ub><米我>ℤ</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>ℤ</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>满足</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>≡</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mi> 国防部</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 而且</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <msup> <mi> f</米我><米o>”</米o></米年代up><米row> <mo> （</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>≢<米在h><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mi> 国防部</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我></米row></米ath></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>还有一个是独一无二的<米在h><米row><米我>α</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>ℤ</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>这样<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>α</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米我>α</米我><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我><米text></米text> <mi> 国防部</米我><米text></米text> <mi> p</米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>在引理中，有一个条件<米在h><米row><米年代up><米i> f</米我><米o>”</米o></米年代up><米row> <mo> （</米o><米我>α</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>≢<米在h><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米我>米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> p</米我></米row></米ath>，而从上面的例子来看，似乎我们应该用<米在h><米row><米年代up><米i> f</米我><米o>”</米o></米年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>≢<米在h><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米我>米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> p</米我></米row></米ath>对多变的<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>．事实上，通过构造，<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ≡</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>一个</米我><米text></米text> <mi> 米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> p</米我></米row></米ath>，可以得出<米在h><米row><米我>f</米我><米o>＇</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>≡</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>＇</米o><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．因此我们假设这个条件只适用于起始点<米在h><米我>一个</米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>在交换环中有一个相关的概念，称为“线性亨塞尔提升”，由以下定理证明。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>假设是交换环。让<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>，<米在h><米row><米年代ub><米i> h</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>是单变量多项式<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>,让<米在h><米我>米</米我></米在h>做一个理想的<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．如果<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>分解成的乘积<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> h</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>在<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>米</米我></米row></米ath>，也就是说，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> h</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> 米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> 米</米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 如果存在多项式s和t<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>这样</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 年代</米我><米o>．</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>．</米o><米年代ub><米我>h</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>≡</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米我>米</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> 米</米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 然后，对于每个整数<米在h><米我>l</gydF4y2Ba米我></米在h>我们有多项式<米在h><米row><米年代up><米i> g</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> </mrow> </math>而且<米在h><米row><米年代up><米i> h</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> </mrow> </math>这样</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米o>≡</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>g</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> <msup> <mi> h</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米text> </mtext> </mrow> </msup> <mi> 国防部</米我><米年代up><米我> 米</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>而且</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> g</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>≡</米o><米年代up><米我>g</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> <mo> ，</米o><米年代ub><米我>h</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>≡</米o><米年代up><米我>h</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米text> </mtext> </mrow> </msup> <mi> 国防部</米我><米我>米</米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 的计算<米在h><米row><米年代up><米i> g</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> </mrow> </math>而且<米在h><米row><米年代up><米i> h</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> </mrow> </math>以一种建设性的方式进行。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让<米在h><米row><米年代up><米i> g</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row></米row> </msup> <mo> ＝</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代up><米i> h</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row></米row> </msup> <mo> ＝</米o><米年代ub><米我>h</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>．,让</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msup> <mi> g</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米我>l</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </msup> <mo> ＝</米o><米年代up><米我>g</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> <mo> +</米o><米年代up><米我>米</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代up><米年代ub> <mi> 问</米我><米我>g</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>而且</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msup> <mi> h</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米我>l</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </msup> <mo> ＝</米o><米年代up><米我>h</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> <mo> +</米o><米年代up><米我>米</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代up><米年代ub> <mi> 问</米我><米我>h</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们解这个方程</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> g</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> 问</米我><米我>h</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> +</米o><米年代ub><米我>h</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> 问</米我><米我>g</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ≡</米o><米fr一个c><米row> <mi> f</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>g</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米text> </mtext> </mrow> </msup> <msup> <mi> h</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米text> </mtext> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi> 米</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米text> </mtext> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mi> 国防部</米我><米text></米text> <mi> 米</米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 因此我们得到<米在h><米row><米年代ub><米i> 问</米我><米我>g</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> 问</米我><米我>h</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>这样<米在h><米row><米text> 度</米text><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> 问</米我><米我>g</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o><</米o><米text>度</米text><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米text> 度</米text><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> 问</米我><米我>h</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o><</米o><米text>度</米text><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> h</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.44</b><米在h><米row><米i> f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>t</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>,<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米我>ℂ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米row><米o> ［</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>．为<米在h><米row><米我>米</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，我们从</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> g</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> <math> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 我们获得<米在h><米row><米年代up><米i> g</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> <mo> ，</米o><米年代up><米我>h</米我><米row><米row> <mo> （</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </msup> </mrow> </math>以迭代的方式。像往常一样，我们只写的根<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>通过<米在h><米row><米o>±</米o><米年代问rt><米row><米n> 1</米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>t</gydF4y2Ba米我></米row></米年代qrt> </mrow> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>亨塞尔引理暗示了中幂级数的存在<米在h><米row><米我>ℂ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米row><米o> ［</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>真正的代数几何</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>在导论中介绍的氢分子的计算是在实数中完成的，在由多项式定义的代数集中:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>＝</米o><米o>｛</米o><米text></米text> <msub> <mi> p</米我><米我>我</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>|</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米我>r</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 另一方面，我们可以添加额外的形式约束</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mi> B</米我><米o>＝</米o><米o>｛</米o><米text></米text> <msub> <mi> 问</米我><米我>我</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>|</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米我>年代</米我><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 因此，研究(A)与(B)解的存在性是很重要的。</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> 从现在开始，我们回顾了实代数几何的几个结果。(关于严谨理论，请参阅Bochnak等人的书[12]或Lassere[13]的书。)</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> 这两个表述对于仿射代数变体是等价的:（我)的理想<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>有真正的发电机<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>．<br>（2）<gydF4y2B一个米在h><米row><米我>X</米我><米o>＝</米o><米over一个ccent＝"true"> <mi> X</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </math>，(用复共轭法)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>然后定义实仿射代数变种和实理想。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.13</b>gydF4y2B一个实点的集合<米在h><米row><米年代ub><米i> V</米我><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>与<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>称为实仿射代数变体。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.14</b>gydF4y2B一个一个理想的<米在h><米我>我</米我></米在h>如果它是由真实的生成器产生的，并且满足以下性质，则称为真实理想:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米text> </mtext> <mtext> 而且</米text><米text></mtext> <msubsup> <mi> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> +</米o><米n>．．.</米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub年代up><米我> 一个</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> ∈</米o><米我>我</米我><米o>⇒</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>我</米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 对于任何实代数变体，<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>才是真正的理想。要了解真实理想和非真实理想之间的区别，请考虑一下<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>,<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．后两种理想都不是真正的理想。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.15</b>gydF4y2B一个让<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>p</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>多项式。一组<米在h><米row><米我>W</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米o>｛</米o><米我>一个</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>ℝ</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <msub> <mi> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米在h>称为基本封闭半代数集。一般的半代数集是它们的布尔组合。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定理4.5</b>（Re一个lNull年代tellensatz)让我们定义真正的根号如下:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mroot> <mi> 我</米我><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我></米root><米o> ＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>p</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米row> <mo stretchy="false"> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o></米row><米o>|</米o></米row><米年代up> <mi> p</米我><米row><米n>2</米n><米我>米</米我></米row></米年代up> <mo> +</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munder> <mo> ∑</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米under><米row> <msubsup> <mi> g</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> ∈</米o><米我>我</米我><米text></米text> <mtext> 为</米text><米text></mtext> <mtext> 一些</米text><米text></mtext> <msub> <mi> 问</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o><米o>，</米o><米我>米</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℕ</gydF4y2Ba米我><米o>＼</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米年代tyle> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>那么它是成立的<米在h><米row><米root> <mi> 我</米我><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我></米root><米o> ＝</米o><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> V</米我><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>,在那里<米在h><米row><米年代ub><米i> V</米我><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>仿射实代数集是<米在h><米我>我</米我></米在h>．如果<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>是真正的理想，<米在h><米row><米年代问rt><米i> J</米我></米年代问rt><米o> ＝</米o><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> V</米我><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>；也就是说，为了一个真正的理想<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>，激进的理想<米在h><米row><米年代问rt><米i> J</米我></米年代问rt></米row> </math>(根据交换代数的标准定义)等于理想的<米在h><米row><米年代ub><米i> V</米我><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>的仿射代数集<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>在<米在h><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我></米在h>）．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.45</b>gydF4y2B一个为<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> V</米我><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>定义4.16</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p> <math> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <mo> ∑</米o><米row><米我>ℝ</米我><米o年代tretchy＝"false"> ［</米o></米row></米年代tyle> <mi> x</米我><米年代up><米o年代tretchy="false"> ］</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>p</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米row> <mo stretchy="false"> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o></米row><米o>|</米o></米row><米我> p</米我><米o>＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munderover> <mo> ∑</米o><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> r</米我></米underover> <mrow> <msub> <mi> 问</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代up> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up><米text> </mtext> <mtext> 为</米text><米text></mtext> <mtext> 一些</米text><米text></mtext> <mi> r</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℕ</gydF4y2Ba米我></米row></米年代tyle> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msup> <mi> Σ</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米row><米row> <mstyle displaystyle="true"> <munder> <mo> ∑</米o><米row><米我>e</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米row><米o> ｛</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row><米我> r</米我></米年代up></米row> </munder> <mrow> <msub> <mi> σ</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代ub年代up> <mi> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> e</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mn> .．.</米n><米年代ub年代up><米我> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> e</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mo> |</米o></米row><米年代ub> <mi> σ</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <mo> ∑</米o><米row><米我>ℝ</米我><米o年代tretchy＝"false"> ［</米o></米row></米年代tyle> <mi> x</米我><米年代up><米o年代tretchy="false"> ］</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 米</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>米</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米row><米row> <msubsup> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> e</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <msubsup> <mi> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mn> .．.</米n><米年代ub年代up><米我> f</米我><米我>米</米我><米row><米年代ub> <mi> e</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> <mo> |</米o></米row><米年代ub> <mi> e</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>e</米我><米我>米</米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>ℕ</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>从这些定义,<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米年代up><米row> <mo stretchy="false"> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o></米row><米n>2</米n></米年代up></米row> </math>是多项式的平方和;<米在h><米row><米年代up><米i> Σ</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是“二次模”，这是由多项式集生成的吗<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米年代up><米row> <mo stretchy="false"> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o></米row><米n>2</米n></米年代up></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>；M是由<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定理4.6</b>（Po年代我t我ve年代tellen年代atz)让<米在h><米row><米o>｛</米o><米text></米text> <msub> <mi> g</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> k</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>n</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h>，<米在h><米row><米o>｛</米o><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．</米n><米我>米</米我><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h>,<米在h><米row><米o>｛</米o><米text></米text> <msub> <mi> h</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> l</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米我>t</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h>多项式在里面<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>．以下属性是等价的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>(我)<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米我>x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>ℝ</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米row> <mo> |</米o><米t一个blecolu米n一个lign="left"> <mtr> <mtd> <msub> <mi> g</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>≥</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>k</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>n</gydF4y2Ba米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <msub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>米</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <msub> <mi> h</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> <p>(2)<米在h><米row><米o>∃</米o><米text></米text> <mi> g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>Σ</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米row> <mo> 〈</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n></米row></米row> <mrow> <mrow> <msub> <mi> g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> 〉</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米o>∃</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米text>米</米text><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>f</米我><米我>米</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>,<米在h><米row><米o>∃</米o><米text></米text> <mi> h</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> h</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>h</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>这样<米在h><米row><米我>g</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．从这个定理，我们还可以推导出下面的定理。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定理4.7</b>gydF4y2B一个让<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米row><米o>｛</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>n</gydF4y2Ba米我><米o>｝</米o></米row></米在h>多项式的<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>K</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米o>∣</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>W</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米text> </mtext> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>．那么下面的陈述成立。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>(我)<米在h><米row><米o>∀</米o><米text></米text> <mi> x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>当且仅当<米在h><米row><米o>∃</米o><米text></米text> <mi> p</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℕ</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米text></米text> <mo> ∃</米o><米text></米text> <mi> g</米我><米o>，</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>Σ</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>这样<米在h><米row><米我>f</米我><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米年代up><米我>f</米我><米row><米n>2</米n><米我>p</gydF4y2Ba米我></米row></米年代up> <mo> +</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>(2)<米在h><米row><米o>∀</米o><米text></米text> <mi> x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>></米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>当且仅当<米在h><米row><米o>∃</米o><米text></米text> <mi> p</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℕ</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米text></米text> <mo> ∃</米o><米text></米text> <mi> g</米我><米o>，</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>Σ</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>这样<米在h><米row><米我>f</米我><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>h</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>例4.46</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>这个定理断言<br><米在h><米row><米我> f</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h><br> <math> <mrow> <mi> f</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> <math> <mrow> <msup> <mi> 问</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> f</米我><米o>＝</米o><米年代ub年代up><米我> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> +</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub年代up><米我> p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>对于某些多项式<米在h><米row><米我>问</米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>．(从定理中，集合<米在h><米row><米o>｛</米o><米text></米text> <mi> x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米o>|</gydF4y2Ba米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>≠</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h>是空的当且仅当<米在h><米row><米o>∃</米o><米text></米text> <mi> u</米我><米o>＝</米o><米年代ub年代up><米我> 年代</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> +</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub年代up><米我> 年代</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米n>2</米n></米年代ub年代up><米o> −</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> 问</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>∈</米o><米年代up><米我>Σ</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米o>−</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米o>∃</米o><米text></米text> <mi> p</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℕ</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米o>∃</米o><米我>v</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米年代up><米我>f</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ∈</米o><米我>米</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>,这样<米在h><米row><米我>u</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>v</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．现在我们可以选择<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代ub><米我>年代</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米年代ub><米我>年代</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代up><米我>f</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>)。换句话说，每个非负多项式都是有理函数的平方和。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.47</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．<br>gydF4y2B一个定义<米在h><米我>D</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米我>g</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米我>h</gydF4y2Ba米我></米在h>是<br><米在h><米row><米我> D</米我><米o>＝</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>/</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n></米row></米在h><br> <math> <mrow> <mi> g</米我><米o>＝</米o><米年代up><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米fr一个c> <mn> 1</米n><米row><米年代问rt><米i> D</米我></米年代问rt></米row> </mfrac> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米fr一个c><米我> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米fr一个c></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up></米row> </math><br> <math> <mrow> <mi> f</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> <math> <mrow> <mi> h</米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米fr一个c><米n>1</米n><米我>D</gydF4y2Ba米我></米fr一个c><米row> <mo> （</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>b</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>当<米在h><米row><米我>D</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，这些多项式在<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>．然后就发生了<米在h><米row><米我>g</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,在那里<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米text>独异点</米text><米o年代tretchy="false"> （</米o><米o>｛</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>，<米在h><米row><米我>g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> ℝ</米我><米年代up><米row> <mo stretchy="false"> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o></米row><米n>2</米n></米年代up><米o>⊂</米o><米年代up><米我>Σ</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米row><米o> ｛</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>,<米在h><米row><米我>h</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>b</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．换句话说，当且仅当，二次方程没有实根<米在h><米row><米我>D</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.48</b>gydF4y2B一个考虑长期方程(对于简单双原子分子的分子轨道模型):</p><p><米在h><米row> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> <p>这个问题等价于</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mtable columnalign="right"> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> y</米我></米row></米td> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow> <msub> <mi> h</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> x</米我></米row></米td> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mn> 0.</米n></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> </math></p> <p>添加约束:</p><p><米在h><米row> <mi> f</米我><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>Gröbner基础(关于字典顺序。<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>)关于理想的<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> h</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>h</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是<米在h><米row><米我>H</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>y</米我><米text></米text> <msup> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> e</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．经过一些代数,<米在h><米row><米年代up><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>减少到<米在h><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>关于<米在h><米我>H</gydF4y2Ba米我></米在h>．因此我们得到</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> g</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>为<米在h><米row><米o></米o> <mi> h</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> h</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>h</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>g</米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米年代up> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>．如果<米在h><米row><米我>e</米我><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米我>g</米我><米o>＝</米o><米年代up><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米年代问rt><米row> <mo> −</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </msqrt> <mtext> </mtext> <mi> y</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up></米row> </math>且满足正stellensz条件。因此，这个问题没有真正的解决办法。(或者说非对称波函数<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>这样<米在h><米row><米我>x</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>分子的基态不是在本征值处吗<米在h><米row><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Noether正常化</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>让<米在h><米row><米我>R</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>做一个分机。记住如何将一个元素积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义4.17</b>gydF4y2B一个一个元素<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>如果它满足一个带系数的一元多项式方程<br><米在h><米row><米row> <mo> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> r</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math><br> <math> <mrow> <msup> <mi> 年代</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> +</米o><米年代ub><米我>r</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> 年代</米我><米row><米我> d</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mo> +</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>r</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 这个方程叫做s除以的积分方程<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．如果每一个元素<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>，我们说<米在h><米我>年代</米我></米在h>是积分<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．我们也会说<米在h><米row><米我>R</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是一个积分扩展。</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <b>定义4.18</b>gydF4y2B一个让<米在h><米我>年代</米我></米在h>是一个仿射环<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>．还有一些元素<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>年代</米我></米row></米ath>具有以下属性。</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> (我)<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>在代数上是独立的<米在h><米我>K</gydF4y2Ba米我></米在h>．</p><p>（2）<gydF4y2B一个米在h><米row><米我>K</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> y</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是一个积分环扩展。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>如果元素y<年代ub>1</gydF4y2B一个年代ub>y，.．.，<gydF4y2B一个年代ub>d</gydF4y2B一个年代ub>满足这两个条件，即包含<米在h><米row><米我>K</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> y</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>年代</米我></米row></米ath>是Noether归一化的<米在h><米我>年代</米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例4.49</b>gydF4y2B一个让<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>,让<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>．的残差<米在h><米row><米over一个ccent="true"> <mi> x</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米o>，</米o><米over一个ccent＝"true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mo> （</米o><米row><米o>∈</米o><米我>年代</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>不是对<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>．而是变量的变化</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> x</米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＇</米o><米o>＝</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米n>5</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 修改如下:</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>我</米我><米o>”</米o></米年代up><米o>＝</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米n>20.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>29</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>4</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>5</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>4</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 我们可以证明残差<米在h><米row><米over一个ccent="true"> <mi> x</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米o>，</米o><米over一个ccent＝"true"> <mrow> <mi> y</米我><米o>＇</米o></米row><米o年代tretchy="true"> ¯</米o></米over><米o年代tretchy="false"> （</米o><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我><米o>＇</米o><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＇</米o><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>＇</米o></米row><米o>］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我><米o>＇</米o></米row></米在h>的积分<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>e</米我><米o>＇</米o></米row><米o>］</米o></米row></米row> </math>．的确，经过一番艰难的代数运算(通过Gröbner基础理论和变量消去，我们稍后会学到)，我们确认了理想<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＇</米o></米row></米在h>包含以下两个多项式</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mn> 65</米n><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>28</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 而且</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <mn> 325</米n><米年代up><米我>x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>38</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>12</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para bullets" style="margin-top:2%"> <b>例4.50</b>gydF4y2B一个有几种类型的变量变化进行诺特归一化。<ul><l我><米ath> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> →</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> +</米o><米年代ub><米我>λ</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代ub> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>与<米在h><米row><米年代ub><米i> λ</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>在系数场中<米在h><米我>K</gydF4y2Ba米我></米在h>，当<米在h><米我>K</gydF4y2Ba米我></米在h>是一个无限场。</l我><l我><米在h> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> →</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> −</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米我>我</米我><米row><米年代up> <mi> r</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </msubsup> <mtext> 为</米text><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．我们必须找到一个整数<米在h><米我>r</gydF4y2Ba米我></米在h>．</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>与后一种类型有关的，实际上是Noether归一化存在的证明。让<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是定义理想的多项式<米在h><米我>我</米我></米在h>．通过变量的变换，我们得到</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub年代up><米o> ，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> +</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代up><米i> r</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>如果关于的最高次的单项<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>最初是由</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <msubsup> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mo> ⋯</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米row><米年代ub> <mi> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>它变成了</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <munderover> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∏</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米我> n</米我></米underover> <mrow> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> y</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> +</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代up><米i> r</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>因此，在变量改变后，最高次的项相对于<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>是由<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> 一个</米我><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> r</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代up> <mi> r</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </msubsup> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>如果r足够大，这一项的次数比其他任何一项的次数都大。因此<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>是积分<米在h><米row><米我>K</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>．还有另一种方法来定义多样性的维度。让<米在h><米row><米我>我</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>做一个适当的理想。让<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．如果<米在h><米row><米我>K</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> y</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> ］</米o><米row><米o>∈</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ［</米o></米row><米年代ub> <mi> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>是Noether归一化，的维数<米在h><米我>一个</米我></米在h>是由数字给出的吗<米在h><米我>d</gydF4y2Ba米我></米在h>，即<米在h><米row><米我>d</米我><米我>我</米我><米我>米</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我></米row></米ath></p> </div> <div class="heading3"> <h1>微分伽罗瓦理论</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>微分伽罗瓦理论是关于代数几何、微分代数和量子力学的重要思想之一。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让我们解决</p><p><米在h><米row> <mi> y</米我><米o>＇</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></p> <p>我们得到了<米在h><米row><米我>C</米我><米text>经验值</米text><米row><米o> （</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</p><p>gydF4y2B一个让我们解决</p><p><米在h><米row> <mi> y</米我><米o>”</米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>t</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＇</米o><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们得到了<米在h><米row><米我>C</米我><米年代up><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mtext> </mtext> <mi> d</米我><米我>t</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mtext> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代up><米我>t</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．在第一种情况下，我们可以得到初等函数范围内的解;另一方面，在第二种情况下，我们要做积分。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>那么就产生了一个问题:在什么情况下，我们可以用指数、积分和添加代数元素来表示微分方程的解?我们一步一步地进行，在计算中已经给出的元素之上添加更多的元素。用这种方法给出的解析解被称为刘维廉解，尽管它并不总是可能构造出来。微分伽罗瓦理论给出了其可解性条件[14-16]。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>在量子力学本征值问题的应用中，我们可以考虑一维Schrödinger方程:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> ψ</米我><米o>”</米o><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> P</米我><米row><米n>2</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>−</米o><米我>λ</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> ψ</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>偶次多项式势</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> P</米我><米row><米n>2</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> （</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米我>z</米我><米row><米n>2</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代up> <mo> +</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米row> <mn> 2</米n><米我>我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米underover> <msub> <mi> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代up> <mi> z</米我><米我>我</米我></米年代up><米o> ＝</米o><米年代up><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米年代up><米i> z</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> +</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米row> <mi> 我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米underover> <msub> <mi> b</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代up> <mi> z</米我><米我>我</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mn> 2</米n></米年代up><米o>+</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米row> <mi> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米underover> <msub> <mi> c</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代up> <mi> z</米我><米我>我</米我></米年代up></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>在最后的表述中<米在h><米row><米年代ub><米i> P</米我><米row><米n>2</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>，多项式由补全平方得到。我们把解写成下面的形式:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> ψ</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>P</米我><米我>年代</米我></米年代ub><米text> 经验值</米text><米row><米o> （</米o><米row><米o>±</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>作为一个一元多项式的乘积<米在h><米row><米年代ub><米i> P</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>而且</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米fr一个c><米row> <msup> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mrow> <mi> n</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米frac> <mo> +</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> k</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米row> <mi> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米underover> <mfrac> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代up> <mi> x</米我><米row><米我> k</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> <mrow> <mi> k</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米frac> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>现在我们可以建立系数之间的关系<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> b</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>在多项式势中，特征值<米在h><米我>λ</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> P</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>．这类关系由二阶微分方程给出<米在h><米row><米年代ub><米i> P</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>．作为微分伽罗瓦理论的结果，该方程在的特定设置下有解<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> b</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米我>λ</gydF4y2Ba米我></米在h>．要解决这个问题，可以利用Gröbner基础理论和变量消去，后面会解释。如果方程可解，则可得到解析解[16]。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>交换代数的其他重要概念</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>建议读者参考教材，掌握较高级的专业术语的概念，如“模”、“自由模”、“正则局部环”、“赋值”、“阿提尼环”、“仿射代数变体”等。也许同源代数的概念是必要的，例如“函子”、“精确序列”、“分辨率”、“射影”、“单射”、“贝蒂数”等等。事实上，这些概念经常出现在研究文章中。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Grobner基础理论</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>Gröbner基理论是交换代数和代数几何的关键技术[17-19]。这个想法最初是由布鲁诺·布赫伯格提出的，与他同名的是他的顾问沃尔夫冈Gröbner。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>单项订单</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>在单变量情况下，我们通过对度数的排序隐式地使用“单项顺序”:<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o><</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o><</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o><</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o></米row></米在h>或<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>></米o><米n>．．.</米n></米row></米在h>．在多元情况下，我们会遇到x形式的单项<年代up>我</年代up>y<gydF4y2B一个年代up>j</gydF4y2B一个年代up>z<gydF4y2B一个年代up>k</gydF4y2B一个年代up>．单项式的合适顺序应该是什么?事实上，有几种方法可以设置顺序。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>一个</米我></米年代up><米o年代tretchy="false"> （</米o><米o>＝</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mn> .．.</米n><米年代ub年代up><米我> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米row><米年代ub> <mi> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> <mo stretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>而且<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o年代tretchy="false"> （</米o><米o>＝</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> b</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mn> .．.</米n><米年代ub年代up><米我> x</米我><米我>米</米我><米row><米年代ub> <mi> b</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> </msubsup> <mo stretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>单项。设a和b是上标的序列<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> b</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>b</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>b</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义5.1</b>gydF4y2B一个词典顺序。</p><p><米在h><米row> <msup> <mi> x</米我><米我>一个</米我></米年代up><米o> <</米o><米年代up><米我>x</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ⇔</米o><米o>∃</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>n</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>：</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代ub><米我>b</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米年代ub><米我>b</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> <</米o><米年代ub><米我>b</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>这个定义等价于下面的表述。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msup> <mtext> x</米text><米text>一个</米text></米年代up><米o> <</米o><米年代up><米text> x</米text><米text>b</米text></米年代up></mrow> </math>，如果a-b的最左分量是负的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义5.2</b>gydF4y2B一个反向字典顺序。</p><p><米在h><米row> <msup> <mi> x</米我><米我>一个</米我></米年代up><米o> <</米o><米年代up><米我>x</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ⇔</米o><米o>∃</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>n</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>：</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代ub><米我>b</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米年代ub><米我>b</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ></米o><米年代ub><米我>b</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>这个定义等价于下面的表述。</p><p><米在h><米row> <msup> <mtext> x</米text><米text>一个</米text></米年代up><米o> <</米o><米年代up><米text> x</米text><米text>b</米text></米年代up></mrow> </math>，如果a-b的最右边分量是正的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义5.3</b>gydF4y2B一个逆字典顺序:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让<米在h><米row><米我>度</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米text> x</米text><米text>一个</米text></米年代up><米o stretchy="false"> ）</米o><米o>＝</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米n>．．.</米n><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math></p> <p> <math> <mrow> <msup> <mtext> x</米text><米text>一个</米text></米年代up><米o> <</米o><米年代up><米text> x</米text><米text>b</米text></米年代up><米o> ⇔</米o></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> (1）<米在h><米row><米我>度</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米text> x</米text><米text>一个</米text></米年代up><米o stretchy="false"> ）</米o><米o><</gydF4y2Ba米o><米我>度</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米text> x</米text><米text>b</米text></米年代up><米o stretchy="false"> ）</米o></米row></米在h> 或gydF4y2B一个（2）<米在h><米row><米我>度</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米text> x</米text><米text>一个</米text></米年代up><米o stretchy="false"> ）</米o><米o>＝</米o><米我>度</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米text> x</米text><米text>b</米text></米年代up><米o stretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>而且<米在h><米row><米o>∃</米o><米text></米text> <mi> 我</米我></米row></米ath> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>：<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代ub><米我>b</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米年代ub><米我>b</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ，</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ></米o><米年代ub><米我>b</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>．(a-b最右边的分量是正的。)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.1</b>gydF4y2B一个计算<米在h><米row><米年代up><米row> <mo stretchy="false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米n>3..</米n></米年代up></米row> </math>在<米在h><米row><米我>ℤ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．单项可以按不同类型的单项顺序排序。(这里，单项的度数由以下对应关系给出:<米在h><米row><米年代up><米text> x</米text><米text>一个</米text></米年代up><米o> ＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米row><米年代ub> <mtext> 一个</米text><米text>1</米text></米年代ub></mrow> </msup> <msup> <mi> y</米我><米row><米年代ub> <mi> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msup> <msup> <mi> z</米我><米row><米年代ub> <mi> 一个</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msup> </mrow> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>词典顺序:<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>；</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msup> <mi> x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> y</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> z</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> z</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>z</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 反向字典顺序:z>y>x;z<gydF4y2B一个年代up>3.．</gydF4y2B一个年代up>+3.yz<gydF4y2Ba年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+3.x<gydF4y2Ba年代up>2</gydF4y2B一个年代up>z+3.<gydF4y2B一个年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+3.y<gydF4y2Ba年代up>2</gydF4y2B一个年代up>xyzz+6+6yz + 3 x<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>z+6xz+3.z + y<年代up>3.．</gydF4y2B一个年代up>+3.xy<gydF4y2Ba年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+3.y<gydF4y2Ba年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+3.x<gydF4y2Ba年代up>2</gydF4y2B一个年代up>y+6xy+3.y + x<年代up>3.．</gydF4y2B一个年代up>+3.x<gydF4y2Ba年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+3.x+1</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> 逆字典顺序:<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>；</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <msup> <mi> x</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> y</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> z</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> z</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>z</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>6</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mo> +</米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米td></米tr> </mtable> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>字典顺序与反向字典顺序之间的差异是明显的;这只是一个逆转。字典顺序和程度反转之间的差别是微妙的;这可以通过伊内和赫尔佐格的这些短语来理解[9]，</p><p>．．.在thelex我cogr一个phic order,<米在h><米row><米我>u</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row></米ath></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>当且仅当u“从一开始就比v多”;</p><p>gydF4y2B一个按照字典编撰顺序的程度，<米在h><米row><米我>u</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row></米ath></p> <p>当且仅当u“从最后开始比v少”…</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>最初的理想</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>让<米在h><米row><米我>f</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>是环上的多项式<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>单项顺序<米在h><米o><</gydF4y2Ba米o></米在h>．“最初的单项”<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>最大的单项包括在内吗<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>（其中系数被删除)。“最初的系数”<米在h><米row><米我>l</米我><米我>c</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是的系数<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>.因此，“前项”由初始系数与初始单项的乘积给出:<米在h><米row><米我>l</米我><米我>c</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>．我们使用一个额外的定义:<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>最初的理想<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>我</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>是由多项式的初始项生成的理想单项吗<米在h><米我>我</米我></米在h>，</p><p><米在h><米row> <msub> <mrow> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>我</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>：</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math></p> <p>这个理想是Gröbner基地理论中的一个有用的工具。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Gröbner基础的定义</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>现在定义了Gröbner基础。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义5.4</b>gydF4y2B一个让<米在h><米我>我</米我></米在h>是多项式环中的理想值<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>，以单项顺序<米在h><米o><</gydF4y2Ba米o></米在h>．Gröbner基是元素的序列<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> </math>,这样<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>我</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们可以表示多项式<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>通过一系列多项式的方式<米在h><米row><米年代ub><米i> u</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>u</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>u</米我><米我>米</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米o>∈</米o><米我>我</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>用以下方式(标准表达)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> u</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> u</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>p</米我><米我>米</米我></米年代ub><米年代ub> <mi> u</米我><米我>米</米我></米年代ub><米o> +</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para bulletsno" style="margin-top:2%"> 这样<ul><l我>(我)在剩余的r中没有一个单项包含在理想中<米在h><米row><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>u</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>u</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>)．</l我><l我>（2）<gydF4y2Ba米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>≥</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>p</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代ub> <mi> u</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米text></米text> <mi> f</米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>r</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> 一个</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> 我</米我></米row></米ath></li> </ul> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 如果<米在h><米row><米我>r</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>我们说f在<米在h><米row><米年代ub><米i> u</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>u</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>u</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> </math>．一般情况下，标准表达式不是唯一的。因此，我们必须使用Gröbner基，因为Gröbner基的标准表达式是唯一的，任何多项式都是由这个基唯一约简的。例如，考虑与<米在h><米row><米我>f</米我><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>，<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>,<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>按字典顺序。有两个标准表达:<米在h><米row><米我>f</米我><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代ub><米我> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>f</米我><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代ub><米我> g</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>−</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>．然而,理想的<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是由Gröbner<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>， f化简为零，具有唯一的标准表达式。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Buchberger的算法</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>Buchberger算法是生成Gröbner基的标准方法[3,6,7,9,20-22]</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让我们定义两个多项式的s多项式<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>g</gydF4y2Ba米我></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米fr一个c><米row> <mi> l</米我><米text>厘米</米text><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>，</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米row> <mi> c</米我><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米frac> <mi> f</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米fr一个c><米row> <mi> l</米我><米text>厘米</米text><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>，</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米row> <mi> d</米我><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米frac> <mi> g</米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 在哪里<米在h><米我>c</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>d</gydF4y2Ba米我></米在h>的前导系数是<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>g</gydF4y2Ba米我></米在h>．</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> 我们可以证明这一点</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <msub> <mi> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> </math>是理想的Grb ner基础吗<米在h><米我>我</米我></米在h>对于单项顺序<米在h><米o><</gydF4y2Ba米o></米在h>，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>当且仅当</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>等于零<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> </math>为<米在h><米row><米我>我</米我><米o><</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <p>计算步骤如下。</p><ul><l我>步骤0让<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>做理想的发电机组<米在h><米我>我</米我></米在h>．</l我><l我>年代tep-1对于每一对多项式<米在h><米row><米我>p</米我><米o>，</米o><米我>问</米我></米row></米ath>在理想<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>，计算<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>p</米我><米o>，</米o><米我>问</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>和它的提醒<米在h><米我>r</gydF4y2Ba米我></米在h>关于<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>．</l我><l我>第二步如果所有<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>p</米我><米o>，</米o><米我>问</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>化简为零<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>，我们已经获得了Gröbner基础。如果有非零提醒<米在h><米row><米我>r</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,添加<米在h><米我>r</gydF4y2Ba米我></米在h>来<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>重复步骤1。</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>计算在有限步后终止。</p><p>gydF4y2B一个让我们来看一些例子。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.2</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米我>f</米我><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> e</米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>g</米我><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> e</米我></米row></米ath>在<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mrow> <mo> ［</米o><米row><米text> </mtext> <mi> x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米text></米text> </mrow> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>，就字典顺序而言<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．一开始,<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>f</米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math>．作为<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>f</米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>．主要单项<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>是<米在h><米row><米我>y</米我><米text></米text> <msup> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>．由于spoy (f,g)中的单项不包含在单项模中<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> (在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>，</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>，<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>f</米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>不降为零;事实上，这就是提醒本身。我们添加<米在h><米row><米我>h</米我><米o>：</米o><米o>＝</米o><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>f</米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>来<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>这<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>f</米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math>．然后我们计算更多的s多项式:<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>h</米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>f</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>h</米我><米o>，</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代up> <mi> e</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>h</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．自<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>h</米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>f</米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>等于零<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>，我们得到了Gröbner基础<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>．实际上，的初始项<米在h><米row><米我>g</米我><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>的可以整除吗<米在h><米row><米o></米o> <mi> f</米我><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>,<米在h><米row><米我>h</米我><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>g</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，<米在h><米我>g</gydF4y2Ba米我></米在h>是一个多余的项我们可以安全地从基底中去掉。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.3</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> <math> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>在<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>，关于词典编纂者<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．我们有<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>．我们计算s多项式:<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．这三个多项式化简为<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>f<年代ub>5</gydF4y2B一个年代ub>y＝2<gydF4y2B一个年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+1，<gydF4y2Ba米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．我们得到了<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>我们计算s多项式和提醒。唯一的非零提醒是<米在h><米row><米o年代tretchy="false"> （</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>,<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>减少。我们有<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>｝</米o></米row></米row> </math>．我们计算s多项式并确定它们都化为零。因此<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>｝</米o></米row></米row> </math>是Gröbner基础。然而,<米在h><米row><米我>y</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是冗余的:它们的初始多项式可以被其他多项式整除(<米在h><米row><米over一个ccent="true"> <mi> G</米我><米o>＾</米o></米over><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>｝</米o></米row></米row> </math>)并降为零<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> G</米我><米o>＾</米o></米over></米在h>．因此我们可以选择<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> G</米我><米o>＾</米o></米over></米在h>作为Gröbner基础，这个理想确实满足所要求的性质。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.4</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米我>我</米我><米text></米text> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米text></米text> <mn> 1</米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>在<米在h><米row><米我>ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>．作为<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米text></米text> <mi> x</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米text></mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mn> 1</米n></米row></米在h>， Gröbner基础是<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米o>｛</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米在h>．这个Gröbner基底永远不为零，而这一组方程<米在h><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>没有任何解。换句话说，这个理想的仿射代数集是空的<米在h><米row><米我>V</米我><米text></米text> <mrow> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米text></mtext> <mo> ＝</米o><米text></米text> <mi> V</米我><米text>({1})</gydF4y2Ba米text><米o>＝</米o><米text></米text> <mo> ∅</米o></米row></米在h>．同样，在更复杂的情况下，通过计算Gröbner基底G，我们可以检验多项式方程组解的存在性。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>在上述算法中，生成的Gröbner基没有通过几个上下文的术语恰当地“简化”。一个减少的Gröbner基础<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>应该具有以下属性[23]:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <ul> <li>每个的前导系数<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>是1。</l我><l我>对所有<米在h><米row><米我>我</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，里面的一元项<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>不能被<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>．</l我></ul></d我v> <div class="heading3"> <h1>Gröbner零维理想的基础</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>以下表述对于零维理想是等价的<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>单项顺序<米在h><米o><</gydF4y2Ba米o></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>1.<米在h><米我>我</米我></米在h>是零维的理想。</p><p>2．仿射代数集<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是有限的。</p><p>3.．．如果<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>是Gröbner的基础，那么，对于任何<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>≤</gydF4y2Ba米o></米row></米在h>n,存在<米在h><米row><米我>g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>G</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>这样<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米我>我</米我><米row><米年代ub> <mi> ν</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </math>对于一些<米在h><米row><米我>n</米我><米年代ub><米我> u</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p><p>4.<gydF4y2B一个米在h><米我>我</米我></米在h>是包含在有限的许多极大理想中的<米在h><米我>年代</米我></米在h>．</p><p>5．让<米在h><米row><米text> 我的</米text><米row><米o> （</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是单项式的集合<米在h><米我>一个</米我></米在h>．一组<米在h><米row><米text> 我的</米text><米row><米o> （</米o><米我>年代</米我><米o>）</米o></米row><米o>＼</米o><米text>我的</米text><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>我</米我><米年代ub><米我> n</米我><米o><</gydF4y2Ba米o></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>是一个有限集。</p><p>6.<gydF4y2B一个米在h><米row><米我>年代</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>是一个<米在h><米我>K</gydF4y2Ba米我></米在h>有限维的-向量空间。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>表述3)使我们能够从它的Gröbner基中检测到一个零维理想，如果后者包含有初始项的多项式<米在h><米row><米年代ub年代up> <mi> x</米我><米我>我</米我><米row><米年代ub> <mi> ν</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </math>对于任何<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>由表述5)和6)给出的零维理想的特征，对于用Stickelberger定理求解多项式方程是有用的，如5.12节所述。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.5</b>gydF4y2B一个为<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o></米row></米在h>， Gröbner的基础，就字典的单项顺序<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．这是零维理想的例子，它满足表述3)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.6</b>gydF4y2B一个为<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>， Gröbner的基础，就字典的单项顺序<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．由于理想状态描述的是单位球与平面的交点，所以它不是零维的。虽然Gröbner基础上有术语<米在h><米row><米年代up><米i> z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>而且<米在h><米我>z</gydF4y2Ba米我></米在h>，这些条款不是初始条款。因此，这个理想不满足表述6)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.7</b>gydF4y2B一个为<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o></米row></米在h>， Gröbner的基础，就字典的单项顺序<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>z</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>z</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．这是零维理想的例子，它满足表述3)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>会合</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>以Gröbner为基础<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>，有如下关系</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <munderover> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> 年代</米我></米underover> <msub> <mi> 年代</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代ub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 通过多项式的集合<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> 年代</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>年代</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>年代</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>．(举个简单的例子<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代ub> <mi> f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> −</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代ub> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>)。这样的一组多项式是一个“模”(实际上是一个向量空间)，我们称它为第一个Syzygy并表示为<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．这个模块的基集是从Gröbner基计算出来的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>当Gröbner基的计算完成时，形式基的生成者之间有关系:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>问</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <msub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>问</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <msub> <mi> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>问</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>米</米我></米row></米年代ub> <msub> <mi> f</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>让我们定义</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> r</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>问</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <msub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>−</米o><米年代ub><米我>问</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <msub> <mi> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>−</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>问</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>米</米我></米row></米年代ub> <msub> <mi> f</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>然后<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> r</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>生成<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．此外,即使<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>是不是一个Gröbner基，我们可以计算<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>通过其Gröbner基础。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.8</b>gydF4y2B一个让我们来计算<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>｝</米o></米row></米row> </math>用字典的单目顺序<米在h><米row><米我>t</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>z</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是由三个普通生成器生成的吗<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>，由非平凡的，<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> y</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代up> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>观察这些产生子的内积<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是零。生成器形成一个向量空间。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>Sygyzy是一个模，换句话说，是一种由向量生成的向量空间，它的项是多项式。我们可以用第一个合子的向量生成器计算第二个合子，同样，也可以用更高的合子。高合度的连续计算使我们能够构造诺埃斯环中模M的“分辨率”;计算在某一步之后终止，因此在最后一步[23]中我们没有发现任何非平凡的sygyzy。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Church-Rosser财产</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>约简是一个对象到另一个对象的二元关系，就像一个方向的箭头。我们通常称之为重写过程。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定义5.5</b>gydF4y2B一个一种二元关系(用符号表示)<米在h><米o>→</gydF4y2Ba米o></米在h>）具有Church-Rosser性质，如果P和Q通过箭头路径连接，P和Q通过关系有一个共同的目的地R。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>因此，我们可以以另一种方式定义Gröbner基:当且仅当关于基的约简具有Church-Rosser性质时，一个基就是Gröbner基，如图3所示。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"figure"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto;border:1px solid #8dc449;"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto"> <center> <button type="" class="imagebutton" data-toggle="modal" data-target="#myModal3" style="margin-top:2%;"><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure3 JMRR-118.jpg" style="width:100%"></button> </center>  <div class="modal fade" id="myModal3" role="dialog" style="margin-top:90px"> <div class="modal-dialog">  <div class="modal-content"> <div class="modal-header"> <button type="" class="close" data-dismiss="modal">×</but来n><d我vcl作为年代＝"figuredata"> <p>图3</p></d我v></d我v><d我v class="modal-body"> <p><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure3 JMRR-118.jpg" style="width:100%;"></p> </div> <div class="modal-footer"> <div class="row"> <div class="col-md-10"> <div class="figuredata"> <p>二值关系的两种约简。(上)非Church- Rosser型;(低)Church-Rosser类型。如果一个理想的基础不是Gröbner，减少在几个目的地，如上图。另一方面，如果基数是Gröbner，则减额是唯一的。</p></d我v></d我v><d我v class="col-md-2"> <button type="button" class="btn btn-default" data-dismiss="modal">关闭</but来n></d我v></d我v> </div> </div> </div> </div> <div class="figuredata1"> <p><b>图3:</b>gydF4y2B一个二值关系的两种约简。(上)非Church- Rosser型;(低)Church-Rosser类型。如果一个理想的基础不是Gröbner，减少在几个目的地，如上图。另一方面，如果基数是Gröbner，则减额是唯一的。</p></d我v></d我v></div> </div> <div class="heading3"> <h1>Gröbner基算法的复杂度</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>Buchberger的原始算法，如这里所示，并不是那么有效。它产生了很多无用的多项式对<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>p</米我><米o>，</米o><米我>问</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，因为这样的对会产生s多项式<米在h><米row><米我>年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>p</米我><米o>，</米o><米我>问</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，它立即降为零或产生冗余多项式。关于Gröbner基的复杂度上界的研究有很多，如Hermann界[24]、Dube界[25]、Wiesinger定理[26]等。这些界限是由以下几个因素决定的:(1)变量的数量，(2)理想多项式的数量，(3)可能的s多项式的数量，(4)多项式的最大次数，等等。在最坏的情况下，复杂性是变量数量的双倍指数[25,27-30]。但是，Gröbner基的计算相当于一个大矩阵的高斯消去过程(通过对麦考利矩阵行约简)[17,29,31,32]。对于齐次多项式理想情况，高斯消去法的复杂度为</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> O</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>米</米我><米我>D</gydF4y2Ba米我><米年代up><米row> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> n</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>D</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mi> D</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> <mi> ω</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>在哪里<米在h><米我>ω</gydF4y2Ba米我></米在h>是一个常数，m是多项式的个数[33]，<米在h><米我>n</gydF4y2Ba米我></米在h>戒指的尺寸，和<米在h><米我>D</gydF4y2Ba米我></米在h>是多项式[33]的最大次。为了提高效率，可以采用更精细的方法，如Faugère的方法<米在h><米row><米年代ub><米i> F</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> F</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>．事实上<米在h><米row><米年代ub><米i> F</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>[34,35]优于麦考利矩阵[33]的行约简计算。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>事实上，算法的效率高度依赖于所选的单阶。字典顺序便于理论研究，但会消耗大量的计算资源。因此，为了便于计算，经常需要用其他单项顺序(例如，程度可逆的字典顺序)计算Gröbner基，然后，可以使用FGLM (Faugère, Gianni, Lazard, Mora)算法[36]将计算结果按字典顺序重做。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>在Gröbner bases生成中还有另一个问题。这在实践中是显而易见的。Buchberger算法应用加法、减法、乘法和除法操作到多项式系统中。它常常导致生成的多项式的程度和最终结果中系数的数值尺度有很大的差异。在本文介绍的计算中，可以观察到这种趋势。因此，出于实际目的，人们必须利用一些技巧来尽可能保持多项式的“纤细”[37-39]。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Gröbner基础模块</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>让我们回顾一下什么是模块。一个<米在h><米row><米我>R</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o></米row></米在h>模M是一个具有标量乘法的交换群<米在h><米row><米我>R</米我><米o>×</gydF4y2Ba米o><米我>米</米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米我>米</米我></米row></米ath>,如<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>米</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>→</米o><米我>一个</米我><米我>米</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>米</米我></米row></米ath>．它具有以下性质。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <ul> <li> <math> <mrow> <mn> 1</米n><米我>米</米我><米o>＝</米o><米我>米</米我></米row></米ath></li> <li> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>一个</米我><米我>b</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> 米</米我><米o>＝</米o><米我>一个</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>b</米我><米我>米</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></li> <li> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>b</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> 米</米我><米o>＝</米o><米我>一个</米我><米我>米</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米我>米</米我></米row></米ath></li> <li> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>米</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>一个</米我><米我>米</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米我>米</米我></米row></米ath></li> </ul> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 空闲模块是具有基集的模块<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> e</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>．我们可以计算出Gröbner个自由模块的基数。这类计算的目的之一是研究多项式的线性方程:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>1</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米n>2</米n><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米我> n</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米我> n</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米我> n</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们可能会要求行的线性相关。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们用这些方法定义了模的单项顺序。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <ul> <li>位置除以系数:<米在h><米row><米我>u</米我><米年代ub><米我> e</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ></米o><米我>v</gydF4y2Ba米我><米年代ub><米我> e</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>如果<米在h><米row><米我>我</米我><米o><</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>或<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>u</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．<br>（例如:<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> e</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>)．</l我><l我>系数在位置<米在h><米row><米我>u</米我><米年代ub><米我> e</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ></米o><米我>v</gydF4y2Ba米我><米年代ub><米我> e</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>:如果<米在h><米row><米我>u</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>或<米在h><米row><米我>v</米我><米o>＝</米o><米我>v</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>我</米我><米o><</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．(例如:<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> e</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>)．</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>与多项式的情况类似，我们选择模块中元素的前项;我们还计算了s多项式和提醒，以便得到Gröbner基。稍有不同的是当<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米年代ub><米我> e</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米我>v</gydF4y2Ba米我><米年代ub><米我> e</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>我们使用s多项式如下:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米fr一个c><米row> <mi> l</米我><米text>厘米</米text><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>v</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米row> <mi> l</米我><米我>c</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> <mi> f</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米fr一个c><米row> <mi> l</米我><米text>厘米</米text><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>v</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米row> <mi> l</米我><米我>c</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>g</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>(这里我们使用符号<米在h><米row><米我>l</米我><米我>c</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>表示的系数<米在h><米row><米我>我</米我><米年代ub><米我> n</米我><米o><</gydF4y2Ba米o></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>应用Gröbner基础</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>Gröbner basis是一个方便的工具，可以实际计算交换代数中的各种数学对象。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.9</b>gydF4y2B一个变量的消除:理想的交集<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>和子环<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是可计算的。让<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>让我们以Gröbner为基础<米在h><米我>我</米我></米在h>．然后<米在h><米row><米年代ub><米i> G</米我><米我>t</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米我>G</gydF4y2Ba米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>Gröbner的基础是什么<米在h><米我>年代</米我></米在h>．如果我们按字典顺序计算Gröbner基<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米n>．．.</米n><米o>></gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>，得到多项式的集合，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米年代ub年代up> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米我>我</米我></米年代ub年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>，<br><米在h><米row><米row> <mo> ｛</米o><米row><米年代ub年代up> <mi> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>我</米我></米年代ub年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>我</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>，<br>．．.<br><米在h><米row><米row> <mo> ｛</米o><米row><米年代ub年代up> <mi> f</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> 我</米我></米年代ub年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米row><米我> t</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>我</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>，<br>gydF4y2B一个．...<br><米在h><米row><米row> <mo> ｛</米o><米row><米年代ub年代up> <mi> f</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米我>我</米我></米年代ub年代up><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>我</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>．</p><p>gydF4y2B一个因此我们可以很容易地得到<米在h><米row><米年代ub><米i> G</米我><米我>t</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米我>G</gydF4y2Ba米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.10</b>gydF4y2B一个十字路口的理想<米在h><米我>我</米我></米在h>而且<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>在<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>．设y是一个额外的变量。<米在h><米row><米我>我</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>可以通过这个关系计算吗<米在h><米row><米我>我</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>+</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>⋅</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>∩</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．右手边的交点通过消元法计算<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.11</b>gydF4y2B一个理想商I:J是可计算的。如果<米在h><米row><米我>J</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>,然后<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munderover> <mo> ∩</米o><米row><米我>j</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> 年代</米我></米underover> <mrow> <mo stretchy="false"> （</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row></米年代tyle> </mrow> </math>．另外，对于一个多项式<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米row><米我>我</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．我们可以计算<米在h><米row><米我>我</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>并获得生成器<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米o>．．.</米o><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>米</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>．然后<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是由<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>/</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>/</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>米</米我></米年代ub><米o> /</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math>．因此<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>计算为?的交集<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.12</b>gydF4y2B一个饱和度:它被定义为理想状态<米在h><米我>我</米我></米在h>和一个多项式<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>在一个环<米在h><米我>年代</米我></米在h>如下。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>f</米我><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我><米o>：</米o><米text>在那里</米text><米text></mtext> <mtext> 存在</米text><米text></mtext> <mi> 我</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mtext> 这样的</米text><米text></mtext> <mtext> 那</米text><米text></mtext> <msup> <mi> f</米我><米我>我</米我></米年代up><米我> g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>让<米在h><米我>t</gydF4y2Ba米我></米在h>是一个新变量，让<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> 我</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>是理想所产生的<米在h><米row><米我>年代</米我><米row><米o>［</米o><米我>t</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>通过<米在h><米我>我</米我></米在h>通过多项式<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米我>t</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．然后饱和<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>f</米我><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ＝</米o><米over一个ccent＝"true"> <mi> 我</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米o>∩</米o><米我>年代</米我></米row></米ath>．(compsat)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.13</b>gydF4y2B一个激进的成员:<米在h><米row><米我>f</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米我>我</米我></米年代问rt><米o> ⇔</米o><米年代up><米我>f</米我><米我>我</米我></米年代up><米o> ∈</米o><米我>我</米我></米row></米ath>对于一些<米在h><米row><米我>我</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>⇔</gydF4y2Ba米o></米row></米在h>对所有<米在h><米row><米我>g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米ath>,存在<米在h><米row><米我>我</米我><米text></米text> <mo stretchy="false"> （</米o><米o>></gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>这样<米在h><米row><米年代up><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代up><米我> g</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>．<米在h><米row><米o>⇔</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>f</米我><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ＝</米o><米我>年代</米我></米row></米ath>．因此，如果理想，<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> 我</米我><米o>＾</米o></米over></米在h>例5.12中定义的，具有Gröbner基础<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米row> </math>,然后<米在h><米row><米我>f</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米我>我</米我></米年代问rt></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Gröbner基算法在不同的角度</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>Buchberger算法实际上是大型矩阵的消元。在大矩阵中做行约简的方法是Faguère。让我们看看它是如何工作的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>考虑同样的问题:<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> e</米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mi> e</米我></米row></米ath>，<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．我们计算s多项式<米在h><米row><米我>e</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>−</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米我>x</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>−</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>．这些多项式的系数在矩阵中给出。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> x</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> e</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> x</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> y</米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>右边的矩阵是所谓的二阶麦考利矩阵。行约简得到:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> x</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> e</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> x</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> y</米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们获得<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>现在我们有了临时的Gröber基础<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>；<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>可以排除在考虑之外，因为他们是“顶可约”由<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>现在也很容易恢复<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们来构造三阶麦考利矩阵:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> y</米我><米text></米text> <mi> e</米我><米年代ub><米我> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代up> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>行简化得到如下结果:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> y</米我><米text></米text> <mi> e</米我><米年代ub><米我> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代up> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们获得<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米text> </mtext> <msup> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．现在<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们再次计算三阶麦考利矩阵</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> y</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代up> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>行约简得到:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> y</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 2</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代up> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们获得<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．现在<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们计算四阶麦考利矩阵:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> y</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn> 1</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米fr一个c><米年代up> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代ub> <mi> f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代up> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们在四阶麦考利矩阵中做行约简:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mi> y</米我><米text></米text> <msub> <mi> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn> 1</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米fr一个c><米年代ub> <mi> f</米我><米n>8</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代up> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们获得<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>8</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>．现在<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>8</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>．然而,随着<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>−</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>8</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>收益率<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>9</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,当<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米年代ub> <mi> f</米我><米n>9</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>,将<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>9</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>｝</米o></米row></米row> </math>．的s-polynomials<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>现在计算:</p><p><米在h><米row> <mi> 年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米fr一个c><米n>1</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米fr一个c><米我> x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>＝</米o><米fr一个c><米n>1</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米fr一个c><米年代ub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米fr一个c><米row> <mi> y</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米n> 2</米n></米fr一个c><米年代ub> <mi> f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math></p> <p> <math> <mrow> <mi> 年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>9</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米年代ub><米我> f</米我><米n>9</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>，</p><p><米在h><米row> <mi> 年代</米我><米我>p</gydF4y2Ba米我><米我>o</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>9</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>−</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>9</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>当s多项式化为零时<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>，事实证明<米在h><米我>G</gydF4y2Ba米我></米在h>是一个Gröbner的基础。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>在上面的例子中，我们仔细处理计算，以便在不必要的多项式出现时立即删除;我们还限制了麦考利矩阵的计算，使其尽可能小，尽管这些矩阵可能嵌入到一个非常大的矩阵中。事实上，我们已经在一个非常大的稀疏矩阵中进行了行约简，而不是符号化。的算法<米在h><米row><米年代ub><米i> F</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> F</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>通过Faugère系统地采用这些策略，使这些算法成为生成Gröbner基数的最有效方法。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>Stickelberger定理</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>在[2]中，还使用了另一种数值解，而不是Gröbner基。该方法基于斯蒂克伯格定理。一般来说，对于零维理想<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>k</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>是一个<米在h><米我>k</gydF4y2Ba米我></米在h>有限维-向量空间;也就是说，向量空间是由单项的集合张成的，两个单项相乘的结果也由单项基的线性组合表示。因此，根据定理的断言，一个单项对单项基的运算被认为是一个矩阵的运算。矩阵的特征值给出了对应的单项的值<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>考虑<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．作为Gröbner的基础<米在h><米我>我</米我></米在h>是<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>的单项基<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>是由<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米over一个ccent＝"true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米o>，</米o><米over一个ccent＝"true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米o>，</米o><米over一个ccent＝"true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>,<米在h><米我>x</gydF4y2Ba米我></米在h>被删除。和的变换给出如下。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mtable columnalign="right"> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mn> 1</米n><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n></米年代up><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mi> y</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o年代tretchy="true"> ¯</米o></米over></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow></mrow> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 1</米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米over一个ccent＝"true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 1</米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow></mrow> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mn> 1</米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 1</米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mn> 1</米n><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>．</米o></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mtable columnalign="right"> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mn> 1</米n><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米年代up> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow></mrow> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow></mrow> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 1</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mn> 1</米n><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>．</米o></米row></米td> </mtr> </mtable> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>转换矩阵<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>(通过<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>），<gydF4y2Ba米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>(通过<米在h><米我>e</gydF4y2Ba米我></米在h>）是两个方程中右边的。很容易检查，有四个特征向量，共同为<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>，它们位于<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>：</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mn> 1</米n><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over><米over一个ccent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mover accent="true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米td> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 1</米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 1</米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 1</米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 1</米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>现在我们得到了的数值<米在h><米我>e</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>在<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>从<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> e</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>而且<米在h><米over一个ccent＝"true"> <mi> y</米我><米o>¯</gydF4y2Ba米o></米over></米在h>．事实上，特征值<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>也给我们的值<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>e</gydF4y2Ba米我></米在h>在<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．至于价值<米在h><米我>x</gydF4y2Ba米我></米在h>，我们可以很容易地从多项式关系由理想计算<米在h><米我>我</米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>库尔维的计算算法</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>正如我们所看到的，零维理想在计算其Gröbner理想后立即被检测到。然而，计算理想[40]的非零维需要一些代数知识。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <ul> <li>让<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是一个理想。的库尔维数<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row></米ath>是由整数给出的吗<米在h><米我>d</gydF4y2Ba米我></米在h>，也就是说,<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 昏暗的</米text></米row><米i> K</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>，使得d是变量子集的最大基数<米在h><米row><米我>u</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>与<米在h><米row><米我>我</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row></米row> </math>．变量的最大独立集合<米在h><米我>我</米我></米在h>是一个子集<米在h><米我>u</gydF4y2Ba米我></米在h>最大基数变量，定义如下)</l我><l我>让<米在h><米o>></gydF4y2Ba米o></米在h>可以是任意的单项排序<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>．,让<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>是一个理想。然后利用初值理想计算商理想的Krull维数<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>的<米在h><米我>我</米我></米在h>：</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mtext> 昏暗的</米text></米row><米i> K</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米row><米text> 昏暗的</米text></米row><米i> K</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>/</米o><米年代ub><米row><米text> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>因此，我们只需要考虑初始理想<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>，而不是理想<米在h><米我>我</米我></米在h>本身。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <ul> <li>让<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>米</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>理想的单发电机<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>．我们表示<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>通过<米在h><米我>X</gydF4y2Ba米我></米在h>．定义<米在h><米row><米我>d</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>以递归的方式<米在h><米row><米我>d</米我><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> （</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>n</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>,<br><米在h><米row><米我> d</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米text>马克斯</米text><米o>｛</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米年代ub><米o>|</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ，</米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>X</米我><米o>＼</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米text> 为</米text><米年代ub><米我> x</米我><米我>我</米我></米年代ub><米text> 这样</米text><米年代ub><米我> x</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> |</米o><米年代ub><米我>米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>｝</米o></米row></米在h>．</l我><l我>然后<米在h><米row><米我>d</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米row><米text> 昏暗的</米text></米row><米i> K</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.14</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> d</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米text>马克斯</米text><米row><米o> ｛</米o><米row><米我>d</米我><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> （</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> （</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>,因为<米在h><米row><米我>我</米我><米年代ub><米o>|</米o><米row><米我>x</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米我>我</米我><米年代ub><米o>|</米o><米row><米我>y</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row></米row> </math>．自<米在h><米row><米我>d</米我><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> （</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> （</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米我>d</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米row><米text> 昏暗的</米text></米row><米i> K</米我></米年代ub><米我> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.15</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．那我们就得考虑<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>结论和前面的例子一样。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例5.16</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>与词典顺序<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．Gröbner基础是<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米我>y</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math>．因此<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 在</米text></米row><米o> <</米o></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>我</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>y</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．自<米在h><米row><米我>u</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>｝</米o></米row></米row> </math>最大基数的变量集是<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>y</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>∩</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>）</米o></米row></米row> </math>我们有<米在h><米row><米年代ub><米row> <mtext> 昏暗的</米text></米row><米i> K</米我></米年代ub><米我> ℝ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>/</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．(我们可以通过递归函数得到同样的结论<米在h><米row><米我>d</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>．</米o><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>理想的分解算法作为特征值求解器</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>在第3节的氢分子例子中，我们已经看到多项式长期方程被制成三角形形式，在这种形式中变量的关系被澄清，几乎代表根本身。这种计算的数学基础是初级理想分解。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>主理想分解</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>理想有两种特殊的类型:初理想和初理想，如我们在前一节所见。我们可以用初等数论的类比来理解这类理想。整数被分解为<米在h><米row><米我>n</米我><米o>＝</米o><米年代ub年代up><米我> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <msubsup> <mi> p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mo> ⋯</米o><米年代ub年代up><米我> p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米row><米年代ub> <mi> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </math>通过质因数分解。整数n的理想值是<米在h><米row><米我>n</米我><米我>ℤ</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>的整数倍<米在h><米我>n</gydF4y2Ba米我></米在h>）;它用<米在h><米row><米我>n</米我><米我>ℤ</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米年代ub年代up><米我> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mi> ℤ</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米年代ub年代up><米我> p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mi> ℤ</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米年代ub年代up><米我> p</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米row><米年代ub> <mi> 一个</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> <mi> ℤ</米我></米row></米ath>作为由质数的若干次幂所产生的理想的交集。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>交换代数中的理想同样可以分解为初等理想[3]的交集:<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munder> <mo> ∩</米o><米我>我</米我></米under><米row> <msub> <mi> p</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </mstyle> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>初级理想分解的一个最基本的步骤总结如下[41]。让<米在h><米我>我</米我></米在h>是诺埃斯环中的理想<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>，<gydF4y2Ba米在h><米row><米我>r</米我><米o>，</米o><米我>年代</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>元素是这样的<米在h><米row><米我>r</米我><米o>∉</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米我>我</米我></米年代问rt></米row> </math>，<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>∉</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>r</米我><米我>年代</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>1.找到<米在h><米我>n</gydF4y2Ba米我></米在h>这样<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>r</米我><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ＝</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>r</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>．</p><p>2．让<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> r</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> r</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</p><p>3.．．理想的<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>更大比<米在h><米我>我</米我></米在h>．分解过程必须对每一个都进行。通过选择合适的<米在h><米我>r</gydF4y2Ba米我></米在h>我们可以分解<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>,因此<米在h><米我>我</米我></米在h>由主要的理想。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例6.1</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米我>J</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>在<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>按照字典顺序<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <ul> <li> <math> <mi> y</米我></米在h>是不是在偏旁<米在h><米row><米年代问rt><米i> J</米我></米年代问rt></米row> </math>；而且<米在h><米row><米我>y</米我><米o>⋅</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>−</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>y</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．因此我们组<米在h><米row><米我>r</米我><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></li> <li>让<米在h><米row><米年代ub><米i> J</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>≡</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>y</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．这是一个初等(实际上是质数)理想，并且<米在h><米row><米我>J</米我><米o>：</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米n>．．.</米n></米row></米在h>(稳定)。</l我><l我>让<米在h><米row><米年代ub><米i> J</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>≡</米o><米我>J</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row></米在h>:这是因为另一种表示<米在h><米row><米我>J</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>y</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．理想的<米在h><米row><米年代ub><米i> J</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>可以再次分解。</l我><l我>•现在<米在h><米row><米我>r</米我><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米我>年代</米我><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</l我><l我><米在h> <mrow> <msub> <mi> J</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> <mo> ≡</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> J</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．这种理想是初级的(实际上是最初的)。</l我><l我><米在h> <mrow> <msub> <mi> J</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> <mo> ≡</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> J</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>：</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> J</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>：</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>J</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>：</米o><米年代up><米row><米o stretchy="false"> （</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米n>2</米n></米年代up><米o>＝</米o><米n>．．.</米n></米row></米在h>(稳定)。这种理想是初级的(实际上是最初的)。</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>现在我们已经完成了初级理想分解:<米在h><米row><米我>J</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米我>J</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∩</米o><米年代ub><米我>J</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> <mo> ∩</米o><米年代ub><米我>J</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> </mrow> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们应该注意到理想是双原子系统的长期方程，<br><米在h><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>初等理想分解是等价于用线性代数进行本征态计算的操作:由所计算理想的仿射代数集给出长期方程的解。我们得到特征值<米在h><米row><米我>e</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米我>e</米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>特征向量是什么<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>事实上，上面的例子是我们可以手动计算的最简单的例子之一。理想分解的一般算法由Eisenbud[42]首先提出;和实际算法是由Gianni, Trager和Zacharias [43]， Shimoyama和Yokoyama [44]， Möller[45]和Lazard开发的。(对于半代数集，也可以做类似的分解，如Chen和Davenport[46]所研究的。)[10]给出了算法的比较。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>吉阿尼，特雷格和扎卡赖斯的算法</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>在本节中，我们回顾了Gianni, Trager和Zacharias (GTZ算法)的主要理想分解算法[18,40]。在我们在前一节看到的算法中，我们必须通过试错来搜索一个“关键多项式”来分解一个理想。相比之下，GTZ算法使我们能够以更合理的方式找到这样一个密钥。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>定义6.1</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets"> <ul> <li>最大的理想<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米我>米</米我></米年代ub><米o> ⊂</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>在一般位置上就词典顺序叫什么<米在h><米o>></gydF4y2Ba米o></米在h>与<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米n>．．.</米n><米o>></gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>，如果存在<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>这样<米在h><米row><米年代ub><米i> 我</米我><米我>米</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> +</米o><米年代ub><米我>g</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mrow> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</l我><l我>当一个理想被初等理想分解时<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米我>问</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∩</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>问</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>，首要理想<米在h><米row><米年代ub><米i> P</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代问rt><米row><米年代ub> <mi> 问</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </msqrt> </mrow> </math>被称为关联质数<米在h><米我>我</米我></米在h>．<米在h><米row><米年代ub><米i> P</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>的最小相关质数是多少<米在h><米我>我</米我></米在h>如果<米在h><米row><米年代ub><米i> P</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ≠</米o><米年代ub><米我>P</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>对所有<米在h><米row><米我>j</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米我>我</米我></米row></米ath>．</l我><l我>零维理想<米在h><米row><米我>我</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>就单项顺序在一般位置叫什么<米在h><米o>></gydF4y2Ba米o></米在h>与<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>)，如果所有相关的质数<米在h><米row><米年代ub><米i> P</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>P</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>在一般位置和<米在h><米row><米年代ub><米i> P</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ∩</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>≠</米o><米年代ub><米我>P</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ∩</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>为<米在h><米row><米我>我</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p><b>定理6.1</b>（零维分解)<米在h><米row><米我>我</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>做一个零维度的理想。让<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>我</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米我>f</米我><米o>＝</米o><米年代ub年代up><米我> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> ν</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mo> ⋯</米o><米年代ub年代up><米我> f</米我><米我>年代</米我><米row><米年代ub> <mi> ν</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </math>与<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ≠</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>为<米在h><米row><米我>我</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．然后分解理想<米在h><米我>我</米我></米在h>是由<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munderover> <mo> ∩</米o><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> 年代</米我></米underover> <mrow> <mo stretchy="false"> （</米o><米我>我</米我><米o>，</米o><米年代ub年代up><米我> f</米我><米我>我</米我><米row><米年代ub> <mi> v</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </msubsup> <mo stretchy="false"> ）</米o></米row></米年代tyle> </mrow> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>如果I是关于单项顺序的一般位置<米在h><米o>></gydF4y2Ba米o></米在h>与<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米n>．．.</米n><米o>></gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>,然后<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米年代up><米我>f</米我><米row><米年代ub> <mi> ν</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </msup> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是所有人的基本理想吗<米在h><米我>我</米我></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>定理6.2</b>（一般情况下理想分解)令<米在h><米row><米我>X</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．让<米在h><米row><米我>我</米我><米o>⊊</gydF4y2Ba米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>做一个理想，并让<米在h><米row><米我>u</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>X</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>的最大独立变量集。那么这些表述成立。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>(我)的理想<米在h><米row><米我>我</米我><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o年代tretchy="false"> ［</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>＼</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>生成的)<米在h><米我>我</米我></米在h>在<米在h><米row><米我>K</米我><米row><米o>（</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>＼</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>是强。我们表示有理函数的场<米在h><米我>K</gydF4y2Ba米我></米在h>变量u by<米在h><米row><米我>K</米我><米row><米o>（</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</p><p>（2）让<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>g</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row><米o>⊂</米o><米我>我</米我></米row></米ath>是Gröbner的基础<米在h><米row><米我>我</米我><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>＼</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．让<米在h><米row><米我>h</米我><米o>＝</米o><米text>中国大陆</米text><米row><米o> （</米o><米row><米text> 信用证</米text><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米text>信用证</米text><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math>．然后<米在h><米row><米我>我</米我><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>＼</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米年代up> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∩</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> K</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>＝</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>h</米我><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math>．如果<米在h><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>h</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ＝</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>h</米我><米row><米我> d</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> </mrow> </math>,然后<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>h</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>我</米我><米o>，</米o><米年代up><米我>h</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>．</p><p>（3.）如果<米在h><米row><米我>我</米我><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>X</米我><米o>＼</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>＝<米在h><米row><米年代ub><米i> 问</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∩</米o><米o>．．.</米o><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>问</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>是不是一个非冗余初等分解<米在h><米row><米我>我</米我><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>＼</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米年代up> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∩</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> K</米我><米row><米o>［</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </math> <math> <mrow> <mo> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> 问</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∩</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>∩</米o><米n>．．.</米n><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> 问</米我><米我>年代</米我></米年代ub><米o> ∩</米o><米我>K</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米我>X</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>也是一个非冗余初等分解。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例6.2</b>gydF4y2B一个考虑<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>在<米在h><米row><米我>ℚ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>与词典顺序<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．我们知道I的Gröbner基是<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米我>y</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <ul> <li>选择<米在h><米row><米我>u</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>｝</米o></米row></米row> </math>作为变量的最大独立集合。</l我><l我><米在h> <mrow> <mi> 我</米我><米我>ℚ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．这个理想是Gröbner的基础<米在h><米row><米我>ℚ</米我><米row><米o>（</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．</l我><l我>然后<米在h><米row><米我>h</米我><米o>＝</米o><米text>中国大陆</米text><米row><米o> （</米o><米row><米text> 信用证</米text><米row><米o> （</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米text>信用证</米text><米row><米o> （</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>．</l我><l我><米在h> <mrow> <mi> J</米我><米o>：</米o><米o>＝</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>我</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>h</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>＝</米o><米年代ub><米row><米o stretchy="false"> （</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米row> <mi> ℚ</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </msub> </mrow> </math>．和<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．我们有一个分解<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>：</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>∩</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．</l我><l我>我们分解<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>．正如零维在<米在h><米row><米我>ℚ</米我><米row><米o>（</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>，将该算法应用于零维情况。自<米在h><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米我>e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>的分解<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>是由<米在h><米row><米我>J</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米年代up> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∩</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米年代up> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∩</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．是理想的<米在h><米我>J</gydF4y2Ba米我></米在h>在字典顺序方面处于一般位置吗<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>在<米在h><米row><米我>ℚ</米我><米row><米o>（</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>J</米我><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是主要的理想。注意我们是在<米在h><米row><米我>ℚ</米我><米row><米o>（</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>．然而，随着分解<米在h><米row><米我>J</米我><米我>ℚ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>继承的<米在h><米row><米我>J</米我><米我>ℚ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>，我们得到了所需的分解。</l我></ul></d我v> <div class="heading3"> <h1>多项式系统的三角剖分</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>对于多项式方程组<米在h><米row><米o>｛</米o><米text></米text> <msub> <mi> p</米我><米我>我</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1.．..．.</gydF4y2Ba米n><米我>米</米我><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h>对于只有有限多个解(即为零维)的情况，提出了几种方法[45,47]，将解集分解为相对于变量项的有限多个三角形形式子集，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米row><米row> <msubsup> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代ub年代up><米o stretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>，</米o><米年代ub年代up><米我> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代ub年代up><米o stretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub年代up><米我> f</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代ub年代up><米o stretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row><米o>|</米o></米row><米我> l</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米我>l</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>这种算法被用在分子轨道理论中的代数几何应用中，如第3节所演示的，而不是传统的线性代数。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让我们回顾一下Möller[45]的三角分解算法。该算法基于几个引理。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>引理6.1</b>（［45］引理2)设A是环中的一个理想<米在h><米row><米我>R</米我><米o>＝</米o><米我米在hv一个r我一个t="double-struck"> K</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>从而得出库尔维的残差类环<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我></米row></米ath>是零:<米在h><米row><米我>d</米我><米我>我</米我><米我>米</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．如果<米在h><米我>B</gydF4y2Ba米我></米在h>理想是这样的吗<米在h><米row><米我>B</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我></米row></米ath>如果<米在h><米row><米我>米</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℕ</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是否足够大，仿射代数集<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是不连贯的结合:<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>B</米我><米我>米</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>∪</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>与</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米o>｛</米o><米text></米text> <mi> y</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mo> ∀</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米在h> <math> <mrow> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>B</米我><米我>米</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米o>｛</米o><米text></米text> <mi> y</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mo> ∃</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>≠</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row></米在h>．</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> (的定义<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>这个定理，在[45]中给出的，与传统的定理略有不同。仅在本节中使用此定义。)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>引理6.2</b>（引理3[45])设A是环中的一个理想<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>这样的库尔维<米在h><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我></米row></米ath>等于0<米在h><米row><米我>昏暗的</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>R</米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>,让<米在h><米我>B</gydF4y2Ba米我></米在h>做另一个理想<米在h><米我>R</gydF4y2Ba米我></米在h>这样<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>⊆</gydF4y2Ba米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．然后，对于足够大的<米在h><米row><米我>米</米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>米</米我><米我>年代</米我></米年代ub><米o> ∈</米o><米我>ℕ</gydF4y2Ba米我></米row></米ath></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>B</米我><米我>米</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munderover> <mo> ∪</米o><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> 年代</米我></米underover> <mrow> <mi> V</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub年代up><米我> g</米我><米我>我</米我><米row><米年代ub> <mi> 米</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </mstyle> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>与<米在h><米row><米我>V</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>g</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub年代up><米我> g</米我><米我>我</米我><米row><米年代ub> <mi> 米</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米o>｛</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>|</米o><米年代ub><米我>g</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>．．.</米n><米o>＝</米o><米年代ub><米我>g</米我><米row><米我> 我</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mrow> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>g</米我><米我>我</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>｝</米o></米row></米在h>．另外，如果A是自由基(<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米年代问rt><米我>一个</米我></米年代问rt></米row> </math>)，则上述关系均为正<米在h><米row><米我>米</米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>米</米我><米我>年代</米我></米年代ub></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>引理6.3</b>（引理5 iii)[45])。让<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ：</米o><米o>＝</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> j</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米row> <msub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </munderover> <msub> <mover accent="true"> <mi> g</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mi> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米年代ub年代up> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米row><米年代ub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> −</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ubsup> </mrow> </math>与非零多项式<米在h><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> g</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mi> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>，<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>如果<米在h><米row><米我>F</米我><米o>：</米o><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>是一组Gröbner基对于单阶<，那么<米在h><米row><米我>G</米我><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> g</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mn> 10</米n></米row></米年代ub> <mo> ，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米over一个ccent="true"> <mi> g</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mi> r</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>是一个Gröbner基<米在h><米o><</gydF4y2Ba米o></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>引理6.4</b>（引理7在[45])。让<米在h><米row><米我>G</米我><米o>：</米o><米o>＝</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>是一个简化的Gröbner基相对于一个单阶<米在h><米o><</gydF4y2Ba米o></米在h>，在那里<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>字典在前面吗<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>,让</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米row><米n>1</米n><米年代ub><米我>f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> ：</米o><米o>＝</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> j</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米row> <msub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </munderover> <msub> <mover accent="true"> <mi> g</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mi> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mrow> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米年代ub年代up> <mi> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米row><米年代ub> <mi> d</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> −</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ubsup> </mrow> </msub> <mo> ，</米o><米n>．．</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>与非零多项式<米在h><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> g</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mi> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>，<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>,<米在h><米row><米我>l</米我><米我>t</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o><</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o><</gydF4y2Ba米o><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>t</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．如果<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> </mrow> </math>是一个常数，那么理想商呢<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>有Gröbner的基础(关于<米在h><米o><</gydF4y2Ba米o></米在h>）<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> g</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米over一个ccent="true"> <mi> g</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mi> r</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∉</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米年代ub><米我>f</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>｝</米o></米row></米在h>．事实上,如果<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>产生一个零维的理想，<米在h><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> g</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mn> 10</米n></米row></米年代ub> </mrow> </math>由[45]中的引理6可知是常数。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>算法总结如下:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让<米在h><米row><米我>一个</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>R</gydF4y2Ba米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>)是一个零维的理想，具有简化的Gröbner基础<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>对于单阶<。让B:<米在h><米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．那么V(A)就是V(A)=V(A:B)的并集<年代up>米</年代up>）∪V（B）。(对于理想I,J, V(I∩J)=V(I)∪V(J)是很容易证明的。因此仿射代数集的分解等价于理想的分解:<米在h><米row><米我>K</米我><米o>＝</米o><米我>我</米我><米o>∩</gydF4y2Ba米o><米我>J</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>)。联合中涉及的品种有以下特性。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <ul> <li>为<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>(这是分解的一个组成部分)，它是这样的<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米年代up> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∩</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米over一个ccent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米我> r</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米text> </mtext> <msub> <mover accent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米over一个ccent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米我> r</米我></米年代ub><米text> </mtext> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>是一个减少的Gröbner基础。</l我><l我>由引理4.4,<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>：</米o><米年代up><米我>B</米我><米我>米</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是零的分裂的结合，<br><米在h><米row><米我> V</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>：</米o><米年代ub年代up><米我> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub年代up><米over一个ccent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米row><米o> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米over一个ccent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米over一个ccent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mi> r</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub年代up><米over一个ccent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米我> r</米我><米row><米年代ub> <mi> 米</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math><br>这些集合是分解的其他组成部分<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</l我><l我><米在h> <mrow> <mi> V</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>一个</米我><米o>：</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mo stretchy="false"> ）</米o><米我>米</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米o>∅</gydF4y2Ba米o></米row></米在h>(因为<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>∈</米o><米我>一个</米我></米row></米ath>):此项目被删除。</l我><l我>对于理想情况，Gröbner底是可计算的<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub年代up><米over一个ccent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </math>， ...，<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米over一个ccent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>2</米n></米年代ub></米row> </math>， ...，<米在h><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米row> <mi> r</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo stretchy="false"> ）</米o><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>：</米o><米年代ub年代up><米over一个ccent="true"> <mi> f</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米我> r</米我><米row><米年代ub> <mi> 米</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </math>．这些Gröbner基地就位了<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>(其中维度正好减少1)。因此我们往下<米在h><米row><米我>R</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ］</米o></米row></米row> </math>在这个环中，我们有一系列的理想，它们将被再次处理。</l我><l我>我们迭代地将算法应用于理想集，并逐个删除变量;该过程应在有限步骤后终止。</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>让我们考虑一下这个问题</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> e</米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 根据字典顺序减少的Gröbner基础<米在h><米row><米我>x</米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>是由</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <math> <mrow> <msub> <mi> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米年代up><米我> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 我们将三角测量应用于<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．对于变量，它只存在于<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>．因此<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>应该在分解的所有组件中添加。我们只分解较小的系统<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．为变量<米在h><米我>y</gydF4y2Ba米我></米在h>，<米在h><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> p</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>3..</米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> p</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>4</米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．通过去掉冗余的术语，简化了Gröbner的基础<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> p</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>3..</米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米over一个ccent="true"> <mi> p</米我><米o>˜</gydF4y2Ba米o></米over><米n>4</米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是，这也是Gröbner的基础<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>至于分解<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>一个</米我><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>B</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>∩</米o><米我>V</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>一个</米我><米o>：</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米年代up><米o年代tretchy="false"> ）</米o><米我>米</米我></米年代up></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>，各分量分别为</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> B</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> B</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>：</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>：</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>事实上，最后一个表述暗示了饱和度:since, for<米在h><米row><米我>米</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n></米row></米在h>，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>：</米o><米年代up><米row><米o stretchy="false"> （</米o><米年代up><米我>e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米我> 米</米我></米年代up><米o> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>从而得到的分解<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>作为交集<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代up><米i> e</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>用代数几何方法求解分子轨道法的简单例子</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>让我们用代数几何的方法来进行分子轨道计算。举个六边形分子的例子，比如苯，它的s轨道位于每个原子上，只与最近的原子相互作用。如图4所示。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"figure"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto;border:1px solid #8dc449;"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto"> <center> <button type="" class="imagebutton" data-toggle="modal" data-target="#myModal4" style="margin-top:2%;"><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure4 JMRR-118.jpg" style="width:100%"></button> </center>  <div class="modal fade" id="myModal4" role="dialog" style="margin-top:90px"> <div class="modal-dialog">  <div class="modal-content"> <div class="modal-header"> <button type="" class="close" data-dismiss="modal">×</but来n><d我vcl作为年代＝"figuredata"> <p>图4</p></d我v></d我v><d我v class="modal-body"> <p><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure4 JMRR-118.jpg" style="width:100%;"></p> </div> <div class="modal-footer"> <div class="row"> <div class="col-md-10"> <div class="figuredata"> <p>六边形分子的结构原子的索引为A<年代ub>1</gydF4y2B一个年代ub>、……一个<年代ub>6</gydF4y2B一个年代ub>它们在最近的邻居之间相互作用，正如化学键所示。</p></d我v></d我v><d我v class="col-md-2"> <button type="button" class="btn btn-default" data-dismiss="modal">关闭</but来n></d我v></d我v> </div> </div> </div> </div> <div class="figuredata1"> <p><b>图4:</b>gydF4y2B一个六边形分子的结构原子的索引为A<年代ub>1</gydF4y2B一个年代ub>、……一个<年代ub>6</gydF4y2B一个年代ub>它们在最近的邻居之间相互作用，正如化学键所示。</p></d我v></d我v></div> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>六边形分子，如苯，的长期方程可以由最简单的模型给出:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mi> T</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>ε</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>我们在六边形的每个顶点上放置一个轨道;我们用跳跃参数假设最近邻居之间的相互作用<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>；波函数由系数给出<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>变成6个原子轨道。(我们假设以下模型:<米在h><米row><米row><米o> |</米o><米我>ψ</gydF4y2Ba米我><米o>〉</米o></米row><米o>＝</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米n>6</米n></米underover> <msub> <mi> C</米我><米我>我</米我></米年代ub><米row> <mo> |</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> 〉</米o></米row></米row> </math>这样<米在h><米row><米row><米o> 〈</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> |</米o></米row><米row> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> 〉</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>δ</米我><米row><米我> 我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>；而且<米在h><米row><米我>H</米我><米o>＝</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米n>6</米n></米underover> <mrow> <mo> |</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> 〉</米o></米row><米我> T</米我><米row><米o>〈</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米row><米我> 我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> |</米o></米row></米row> </math>在六方闭图中<米在h><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米n>7</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>对应的能量泛函由</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mi> U</米我><米text>＝</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>2</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>1</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>3.．</米text></米年代ub><米text> )+</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>3.．</米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>2</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>4</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> ) +</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>4</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>3.．</米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>5</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> ）</米text></米td></mtr> <mtr> <mtd> <mtext> +</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>5</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>4</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>6</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> )+</米text><米年代ub><米我> T</米我><米text>6</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>5</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>1</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> )+</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>1</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>6</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>2</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> ）</米text></米td></mtr> <mtr> <mtd> <mtext> -</米text><米我>e</米我><米text>（</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米text> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>2</gydF4y2Ba米text><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米text> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>3.．</米text><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米text> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>4</gydF4y2Ba米text><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米text> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>5</gydF4y2Ba米text><米text>2</米text></米年代ub年代up> <mtext> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>6</gydF4y2Ba米text><米text>2</米text></米年代ub年代up> <mtext> 1)</米text></米td></mtr> </mtable> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>世俗方程中的理想可以表示为:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我= (2 * c1 * e T + 2 + 2 * c2 * * c6 * T,<br>2＊c1＊2＊c2 * e T + 2 * c3 *,<br>2＊＊2＊3.＊e T + 2 * c4 *,<br>2＊c3.＊2＊c4 * e T + 2 * c5 *,<br>2＊c4＊2＊c5 * e T + 2 * c6 *,<br>2＊c1＊T+2 * c5 * 2 * c6 * e,<br>gydF4y2B一个往上平移^ 2 * c2 ^ 2 * c3 ^ 2-c4 ^ 2 c5 ^ 2-c6 ^ 2 + 1)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们假设</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 我</米我><米o>⊂</gydF4y2Ba米o><米我>ℚ</gydF4y2Ba米我><米text></米text> <mrow> <mo> ［</米o><米row><米text> </mtext> <msub> <mi> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>U</gydF4y2Ba米我><米text></米text> </mrow> <mo> ］</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>用字典的单目顺序</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>></米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>></gydF4y2Ba米o><米我>U</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> Gröbner的基数见表2:</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> 表2中列表的第一项显示了能量e与跳变积分t之间的关系，然后包括其他变量(c<年代ub>6</gydF4y2B一个年代ub>c<gydF4y2B一个年代ub>5</gydF4y2B一个年代ub>，.．..．.，c<gydF4y2Ba年代ub>1</gydF4y2B一个年代ub>）接连出现。这是一个变量消去的例子。</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> 让我们来评价能量泛函u，为此，我们做了一个新的理想<米在h><米row><米我>我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>用一个多项式<米在h><米我>f</gydF4y2Ba米我></米在h>等于变量U和能量泛函的定义<米在h><米row><米我>f</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>：</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mi> f</米我><米text>＝</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>2</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>1</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>3.．</米text></米年代ub><米text> )+</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>3.．</米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>2</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>4</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> ）</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>3.．</米text></米年代ub><米text> +</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>4</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>3.．</米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>5</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> ）</米text></米td></mtr> <mtr> <mtd> <mtext> +</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>5</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>4</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>6</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> )+</米text><米年代ub><米我> T</米我><米text>6</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>5</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>1</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> )+</米text><米我>T</米我><米年代ub><米我> c</米我><米text>1</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> （</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>6</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> +</米text><米年代ub><米我> c</米我><米text>2</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> ）</米text></米td></mtr> <mtr> <mtd> <mtext> -</米text><米我>e</米我><米text>（</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米text> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>2</gydF4y2Ba米text><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米text> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>3.．</米text><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米text> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>4</gydF4y2Ba米text><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米text> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>5</gydF4y2Ba米text><米text>2</米text></米年代ub年代up> <mtext> +</米text><米年代ub年代up><米i> c</米我><米text>6</gydF4y2Ba米text><米text>2</米text></米年代ub年代up> <mtext> 1) - - -</米text><米我>U</米我></米td></米tr> </mtable> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>Gröbner理想的基础<米在h><米row><米我>我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>表3所示。第一个多项式给出了总能量U和跳变积分之间的关系，而其他变量则被扫进了剩下的多项式。因此，通过符号计算，我们进行了分子轨道计算，得到了<br><b>gydF4y2B一个表2:</b>GrgydF4y2B一个öbner六方分子的长期方程的基础。_ [1] = e ^ 4 - 5 * e ^ T ^ 2 * T ^ 2 + 4 * 4<br>gydF4y2B一个_ [2] = 6 * c6 ^ ^ 2 - 6 * 2 * e c6 ^ 2 * T ^双电子^ 2 + T ^ 2<br>gydF4y2B一个_ [3] = 2 * c5 * e ^ 2 * 2 * c5 * T ^ 3-c6 * e ^ 3 + c6 * e * T ^ 2<br>gydF4y2B一个_ [4] = c5 * e ^ 3-c5 * e * T ^ 2 * c6 * e T + 2 ^ 2 * * c6 * T ^ 3<br>gydF4y2B一个_ [5] = 4 * c5 ^ 2 * T ^ 2 - 4 * c5 * c6 * e *第四节* c6 ^ 2 * e ^ 2<br>+8＊c6＾2＊ T ^ 2 + e ^ 2 * T ^ 2<br>gydF4y2B一个_ [6] = 4 * c5 ^ 2 * *的军医c5 * c6 * T + 4 * c6 ^ 2 * e<br>gydF4y2B一个_ [7] = 24 * c5 ^ 2 * c6 ^ 2 *第四节* c5 ^ 2 * T-24 * c5 * c6 ^ 3 * e<br>+4＊c5＊c6 * e + 24 * c6 ^ 4 * T-10 * c6 ^ 2 * T + T<br>gydF4y2B一个_ [8] = 24 * c5 T-16 * c5 ^ 3 ^ 4 * * c6 * e + 16 * c5 ^ 2 * c6 ^ 2 * T<br>-10＊c5＾2＊ T + 8 * c5 * c6 ^ 3 * e + 2 * c5 * c6 * *的军医c6 ^ 2 * T + T<br>gydF4y2B一个_ [9] = c4 * T-c5 * e + c6 * T<br>gydF4y2B一个_ [10] = c4 * e + 12 * 3 c5 ^ * T-8 * c5 ^ 2 * c6 * e + 8 * c5 * c6 ^ 2 * T<br>T+4＊4＊c5＊ c6 ^ 3 * e<br>gydF4y2B一个_ [11] = c3 * T-c4 * e + c5 * T<br>gydF4y2B一个_ [12] = c3 * *的军医c4 ^ 2 * c5 * e + 12 * c4 ^ 2 * c6 * T + 4 * c4 * c5 ^ 2 * T<br>8＊c4＊c5＊ c6 * e + 12 * c5 ^ 2 * c6 * T + 8 * c6 ^ 3 *第四节* c6 * T<br>gydF4y2B一个_ [13] = c2 * T-c3 * e + c4 * T<br>gydF4y2B一个_ [14] = T + c5 c2 * e-c3 * * T-c6 * e<br>gydF4y2B一个_ [15] = c1 * T + c5 * T-c6 * e<br>gydF4y2B一个_ [16] = c1 * e-c2 * T-c6 * T<br>gydF4y2B一个_ [17] = c1 ^ 2 + c2 ^ 2 + c3 ^ 2 + c4 ^ 2 + c5 ^ 2 + c6 ^ 2 - 1<br><b>gydF4y2B一个表3:</b>gydF4y2B一个理想I + (f)的Gröbner基础。_ [1] = 4 * T ^ 4 - 5 * T ^ 2 * U ^ 2 + ^ 4 _[2] =得到eu _ [3] = 12 * c6 ^ 2 * T ^ 2 * c6 U ^ ^ 2 *双电子^ 2 + 3 * e * U - 2侦察机* T ^ 2 _ [4] = c5 * T ^ 2 * U-c5 * U ^ 3 + c6 * e ^ 2 * 2 * c6 * T ^ 3 + c6 * T * U ^ 2 _ [5] = 2 * c5 * T ^ 3 - 2 U * c5 * T * ^ 2 + c6 * e ^ 3 - 2 * c6 * e * T ^ 2 + c6 * T ^ 2 * U _ [6] = 4 * c5 ^ 2 * U-4 * c5 * c6 * T + 4 * c6 ^ 2 * e _ [7] = 4 * c5 ^ 2 * T ^ 2 - 4 e * c5 * c6 * *第四节* c6 ^ 2 * e * U + 8 * c6 ^ 2 * T ^ 2 + e * U - 2侦察机* T ^ 2 _ [8] = 24 * c5 ^ 2 * c6 ^ 2 *第四节* c5 ^ 2 * T-24 * c5 * c6 ^ 3 * e + 4 * c5 * c6 * e + 24 * c6 ^ 4 * T-10 * c6 T + T ^ 2 * _ [9] = 2 4 * 5 c ^ 4 * 6 T - 1 * c 5 c ^ 3 * 6 * 6 e + 1 * 5 ^ 2 * c T - 10 * c5 ^ 6 ^ 2 * 2 * 8 * c5 * c6 ^ T + 3 * e + 2 * c5 * c6 * *的军医c6 T + T ^ 2 * _ [10] = c4 * U + 12 * c5 ^3 * T-8 * c5 ^ 2 * c6 * e + 8 * c5 * c6 ^ 2 * T - T + 4 * 4 * c5 * c6 ^ 3 * e _ [11] = c4 * T-c5 * e + c6 * T _ [12] = c3 * U-4 * c4 ^ 2 * c5 * e + 12 * c4 ^ 2 * c6 * T + 4 * c4 * c5 ^ 2 * T-8 * c4 * c5 * c6 * e + 12 * c5 ^ 2 * c6 * T + 8 * c6 ^ 3 *第四节* c6 * T _ [13] = c3 * T-c4 * e + c5 * T _ [14] = T + c5 c2 * U-c3 * * T-c6 * e _ [15] = c2 * T-c3 * e + c4 * T _ [16] = c1 * U-c2 * T-c6 * T T + c5 _ [17] = c1 * * T-c6 * e _ [18] = c1 ^ 2 + c2 ^ 2 + c3 ^ 2 + c4 ^ 2 + c5 ^ 2 + c6 ^ 2 - 1<b>gydF4y2B一个表4:</b>gydF4y2B一个理想I + (f)的初等理想分解。理想分解为ve个初级理想，每一个都由生成器表示。[1] (p1):<br>gydF4y2B一个_ [1] = T<br>gydF4y2B一个_ [2] = e<br>gydF4y2B一个_ [3] = c1 ^ 2 + c2 ^ 2 + c3 ^ 2 + c4 ^ 2 + c5 ^ 2 + c6 ^ 2 - 1<br>［2］（p2）：<br>gydF4y2B一个_ [1] = e-T<br>gydF4y2B一个_ [2] = 4 * c5 ^ 2 - 4 * c5 * c6 + 4 * c6 ^ 2 - 1<br>gydF4y2B一个_ [3] = c4-c5 + c6<br>gydF4y2B一个_ [4] = c3 + c6<br>gydF4y2B一个_ [5] = c2 + c5<br>gydF4y2B一个_ [6] = c1 +瘤<br>［3.］（p3.）：<br>gydF4y2B一个_ [1] = e + T<br>gydF4y2B一个_ [2] = 4 * c5 ^ 2 + 4 * c5 * c6 + 4 * c6 ^ 2 - 1<br>gydF4y2B一个_ [3] = c4 + c5 + c6<br>gydF4y2B一个_ [4] = c3-c6<br>gydF4y2B一个_ [5] = c2-c5<br>gydF4y2B一个_ [6] = c1 + c5 + c6<br>［4］（p4）：<br>gydF4y2B一个_ [1] = e + 2 * T<br>gydF4y2B一个_ [2] = 6 * c6 ^ 2 - 1<br>gydF4y2B一个_ [3] = c5 + c6<br>gydF4y2B一个_ [4] = c4-c6<br>gydF4y2B一个_ [5] = c3 + c6<br>gydF4y2B一个_ [6] = c2-c6<br>gydF4y2B一个_ [7] = c1 + c6<br>［5］（p5）：<br>gydF4y2B一个_[1] =依照* T<br>gydF4y2B一个_ [2] = 6 * c6 ^ 2 - 1<br>gydF4y2B一个_[3] =瘤<br>gydF4y2B一个_ [4] = c4-c6<br>gydF4y2B一个_ [5] = c3-c6<br>gydF4y2B一个_ [6] = c2-c6<br>gydF4y2B一个_ [7] = c1-c6<br>gydF4y2B一个可观察量:如果我们给出<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>，我们确定了总能量<米在h><米我>U</gydF4y2Ba米我></米在h>我们得到了波函数的变量和特征值的关系<米在h><米我>e</gydF4y2Ba米我></米在h>．至于波函数，符号计算有一个特殊的特点，我们将在后面讨论。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>现在让我们看看初等理想分解是如何运作的。理想的分解<米在h><米row><米我>我</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>表4所示。列表中的每个条目都是最理想的<米在h><米row><米o>｛</米o><米text></米text> <msub> <mi> p</米我><米我>我</米我></米年代ub><米text> </mtext> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米n>5</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h>，其交点建立长期方程的多项式理想<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munderover> <mo> ∩</米o><米row><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o></米row><米n>5</米n></米underover> <mrow> <msub> <mi> p</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </mstyle> <mo stretchy="false"> ）</米o></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>表5给出了理想的Gröbner基础<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> p</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> +</米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．<b>gydF4y2B一个表5:</b>GrgydF4y2B一个öbner理想的基础p<年代ub>我</年代ub>+ (f）。[1] (p1 + (f)) _ [1] = U _ [2] = T _ [3] = e _ [4] = c1 ^ 2 + c2 ^ 2 + c3 ^ 2 + c4 ^ 2 + c5 ^ 2 + c6 ^ 2 - 1 [2] (p2 + (f)) _[1] =你不_ [2]= e-T _ [3] = 4 * c5 ^ 2 - 4 * c5 * c6 + 4 * c6 ^ 2 - 1 _ [4] = c4-c5 + c6 _ [5] = c3 + c6 _ [6] = c2 + c5 _ [7] = c1 +瘤[3](p3 + (f)) _ [1] = T + U _ [2] = e + T _ [3] = 4 * c5 ^ 2 + 4 * c5 * c6 + 4 * c6 ^ 2 - 1 _ [4] = c4 + c5 + c6 _ [5] = c3-c6 _ [6] = c2-c5 _ [7] = c1 + c5 + c6 [4] (p4 + (f)) _ [1] = 2 * T + U _ [2] = e + 2 * T _ [3] = 6 * c6 ^ 2 - 1 _ [4] = c5 + c6 _ [5] = c4-c6 _ [6] = c3 + c6 _ [7] = c2-c6 _ [8] = c1 + c6 [5] (p5 + (f)) _[1] = 2 *你不_[2]=依照* T _ [3] = 6 * c6 ^ 2 - 1 _瘤性病变[4]= _ [5]= c4-c6 _ [6] = c3-c6 _ [7] = c2-c6 _ [8] = c1-c6。第一项给出了总能量之间的线性关系<米在h><米我>U</gydF4y2Ba米我></米在h>跳跃参数<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>．这是利用初等理想分解对结果的改进;在Gröbner基础的表3中，我们得到了之间的关系<米在h><米我>U</gydF4y2Ba米我></米在h>而且<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>，但该多项式尚未分解。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>理想的尺寸见表6。(根据计算代数几何的习惯，我们用“理想的维数”一词来表示商环的库尔维数。)</p></d我v><d我vcl作为年代＝"tabledata"> <p><b>表6:</b>gydF4y2B一个理想p的维数<年代ub>我</年代ub>+ (f）。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"table-responsive tablezoom" style="margin-top:2%;"> <table class="table table-bordered"> <thead> <tr> <th>理想的</th><th><米在h> <mrow> <msub> <mrow> <mtext> 昏暗的</米text></米row><米i> k</米我></米年代ub><米text> (R / I)</米text></米row></math></th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td> <math> <mrow> <msub> <mi> p</米我><米text>1</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> + (</米text><米我>f</米我><米text>）</米text></米row></math></td> <td>5</td></tr><tr> <td> <math> <mrow> <msub> <mi> p</米我><米text>2</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> + (</米text><米我>f</米我><米text>）</米text></米row></math></td> <td>2</td></tr><tr> <td> <math> <mrow> <msub> <mi> p</米我><米text>3.．</米text></米年代ub><米text> + (</米text><米我>f</米我><米text>）</米text></米row></math></td> <td>2</td></tr><tr> <td> <math> <mrow> <msub> <mi> p</米我><米text>4</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> + (</米text><米我>f</米我><米text>）</米text></米row></math></td> <td>1</td></tr><tr> <td> <math> <mrow> <msub> <mi> p</米我><米text>5</gydF4y2Ba米text></米年代ub><米text> + (</米text><米我>f</米我><米text>）</米text></米row></math></td> <td>1</td></tr></tbody> </table> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>至于<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>，仿射代数集由<米在h><米row><米我>U</米我><米o>＝</米o><米我>T</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米年代ub年代up> <mi> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> +</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub年代up><米我> c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> ＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>；因此有五个自由度<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>．至于<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>，唯一不确定的是跳跃积分<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>，它们对理想的维度有贡献;<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>是决心要签字的。至于<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>，跳跃积分<米在h><米我>T</gydF4y2Ba米我></米在h>仍然是一个不定式，为维度贡献了一个;<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>不是明确确定的，除非<米在h><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>5</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>或<米在h><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>6</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>将显式地给出在表(即一维几何对象)中的二次方程中。在这种情况下，理想的维度增加了一。的情况下，维度的增加<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> p</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>用我们熟悉的物理术语来说，是由于特征值的简并性。对于这种情况，在数值计算中，求解器自动返回正交归一化基向量。数值库以任意的方式确定它们。然而，通过将退化的本征态与相等的权值相加，就可以计算出不存在这种模糊性的可观测量子力学量。相比之下，符号计算处理方程直到波函数变量的“最小”多项式，它不再。然而，波函数是不可观测的量;人们可以通过符号计算从多项式方程中消去它们，这样就只能得到可观察的量，例如能量。事实上，特征值的简并性导致特征空间的非零维性质并不总是正确的:例如，考虑以下多项式作为能量泛函:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> f</米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>−</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>+</米o><米我>c</gydF4y2Ba米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>+</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub年代up> <mi> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米年代ub年代up> <mi> c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> +</米o><米年代ub年代up><米我> c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米年代ub年代up> <mi> c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> +</米o><米年代ub年代up><米我> c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米年代ub年代up> <mi> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>4</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>−</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub年代up> <mi> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> +</米o><米年代ub年代up><米我> c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> +</米o><米年代ub年代up><米我> c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>局部能量极小值用实数和复数离散点(非连续点)表示。例如,<米在h><米row><米我>e</米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>3.．</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>是具有六倍简并的特征值，对应的特征向量是离散的(作为零维理想)，如下:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> c</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>c</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米o>±</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米o>±</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>，</米o><米o>±</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>/</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代问rt></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="heading3"> <h1>相关主题展望</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>我们已经看到了计算代数几何如何应用到分子轨道理论中，只要方程可以用多项式表示。在本节中，我们将了解多项式符号计算的相关主题。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>多项式优化</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>多项式优化是解决多项式方程和不等式所给出的优化问题的一种数值方法[47,48-51]。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例8.1</b>gydF4y2B一个考虑成本函数<米在h><米row><米我>g</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>和约束条件<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>5</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> −</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> ≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>−</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>这个问题由:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>代价最大化的多元多项式函数<米在h><米row><米我>g</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math></p> <p>以多元多项式函数为约束条件<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>≥</米o></米row></米在h>0.</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>换句话说，代价函数g在由定义的半代数集中是最大化的<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>，<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>，如图5所示。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"figure"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto;border:1px solid #8dc449;"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto"> <center> <button type="" class="imagebutton" data-toggle="modal" data-target="#myModal5" style="margin-top:2%;"><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure5 JMRR-118.jpg" style="width:100%"></button> </center>  <div class="modal fade" id="myModal5" role="dialog" style="margin-top:90px"> <div class="modal-dialog">  <div class="modal-content"> <div class="modal-header"> <button type="" class="close" data-dismiss="modal">×</but来n><d我vcl作为年代＝"figuredata"> <p>图5</p></d我v></d我v><d我v class="modal-body"> <p><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure5 JMRR-118.jpg" style="width:100%;"></p> </div> <div class="modal-footer"> <div class="row"> <div class="col-md-10"> <div class="figuredata"> <p>他曲线x<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>可能是<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>＝0，y= x，1−xy = 0。对角线与双曲线的右上角交点的y坐标给出了本文所提出的优化问题的解。</p></d我v></d我v><d我v class="col-md-2"> <button type="button" class="btn btn-default" data-dismiss="modal">关闭</but来n></d我v></d我v> </div> </div> </div> </div> <div class="figuredata1"> <p><b>图5:</b>gydF4y2B一个曲线,x<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>可能是<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>＝0，y= x，1−xy = 0。对角线与双曲线的右上角交点的y坐标给出了本文所提出的优化问题的解。</p></d我v></d我v></div> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>关键是要替换单项式<米在h><米row><米年代ub年代up> <mi> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米我>我</米我></米年代ub年代up><米年代ubsup> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub年代up></mrow> </math>与变量<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>．变量应该满足如下关系<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米row><米我> p</米我><米o>，</米o><米我>问</米我></米row></米年代ub> <msub> <mi> y</米我><米row><米我> r</米我><米o>，</米o><米我>年代</米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米我> p</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>问</米我><米o>，</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米row><米n>00</米n></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．让我们用以下方式定义一阶矩矩阵:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mrow> <mi> y</米我><米米ult是cr我pt年代> <mrow></mrow> <mprescripts></mprescripts> <mrow> <mn> 10</米n></米row><none></none> </mmultiscripts> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para bullets" style="margin-top:2%"> <p>利用多项式优化的形式主义，将问题重新表述如下。</p><ul><l我>最大化线性成本函数<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> </mrow> </math>，</l我><l我>在矩矩阵的约束条件下<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>正半定,</l我><l我>在多元多项式函数的约束下:<米在h><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> f</米我><米o>＾</米o></米over><米n>1</米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>5</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> <mo> ≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> f</米我><米o>＾</米o></米over><米n>2</米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> <mo> ≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米年代ub><米over accent="true"> <mi> f</米我><米o>＾</米o></米over><米n>3..</米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> <mo> ≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></li> </ul> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>其中，矩矩阵的约束来自于二次型的半正定性:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mn> 0</米n><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米underover> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米n>2</米n></米underover> <msub> <mi> c</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米underover> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米n>2</米n></米underover> <msub> <mi> c</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代ub> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>≃</米o><米under><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米under> <msub> <mi> c</米我><米我>我</米我></米年代ub><米年代ub> <mi> c</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>下面我们表示矩阵的半正定性<米在h><米我>米</米我></米在h>作为<米在h><米row><米我>米</米我><米o>≽</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>用半正定规划的标准方法求解优化问题。我们也可以表述对偶问题。一般来说，不能保证使用一矩矩阵就足以给出正确答案;事实上，这个公式应该在无限维矩阵中给出，其中包括到无穷大的高阶矩。此外，在上述公式中，对条件没有约束<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米row><米我> p</米我><米o>，</米o><米我>问</米我></米row></米年代ub> <msub> <mi> y</米我><米row><米我> r</米我><米o>，</米o><米我>年代</米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米我> p</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>问</米我><米o>，</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>年代</米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>．我们只期望在最优情况下，矩矩阵会被简化为秩更低更合适的矩矩阵。实际上，上面的过程是一个近似，通过使用更大的矩阵来提高精度。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让<米在h><米row><米我>y</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米row><米o stretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row><米row> <mi> α</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>ℕ</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </msub> </mrow> </math>,在那里<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>代表<米在h><米row><米年代up><米text> x</米text><米我>α</米我></米年代up><米o> ＝</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> α</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mn> .．.</米n><米年代ub年代up><米我> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我><米row><米年代ub> <mi> α</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </math>．的程度<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代ub><米i> y</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>作为<米在h><米row><米row><米o> |</米o><米我>α</gydF4y2Ba米我><米o>|</gydF4y2Ba米o></米row><米o>＝</米o><米underover><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米row> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米我> n</米我></米underover> <msub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>．我们试图在有限的范围内优化问题<米在h><米row><米年代ub><米row> <mo stretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>y</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row><米row> <mi> α</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>ℕ</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </msub> </mrow> </math>,这样<米在h><米row><米row><米o> |</米o><米我>α</gydF4y2Ba米我><米o>|</gydF4y2Ba米o></米row><米o>≤</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>r</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>为<米在h><米row><米我>y</米我><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> y</米我><米row><米年代ub> <mi> α</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msub> <mo> ，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米年代ub> <mi> α</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msub> <mo> ，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米年代ub> <mi> α</米我><米我>N</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msub> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>(这样<米在h><米row><米row><米o> |</米o><米row><米年代ub><米i> α</米我><米我>N</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> |</米o></米row><米o>≤</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>r</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>)， r阶矩矩阵<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>构造如下:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <ul> <li> <math> <mrow> <msub> <mi> 米</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>］</米o></米row><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，</l我><l我><米在h> <mrow> <msub> <mi> 米</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>］</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米年代ub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </msub> </mrow> </math>，</l我><l我><米在h> <mrow> <msub> <mi> 米</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>我</米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米年代ub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </msub> </mrow> </math>，</l我><l我><米在h> <mrow> <msub> <mi> 米</米我><米我>r</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>＝</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米年代ub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> +</米o><米年代ub><米我>α</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </msub> </mrow> </math></li> </ul> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>索引i和j取在这样的范围内<米在h><米row><米row><米o> |</米o><米row><米年代ub><米i> α</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> |</米o></米row><米o>≤</米o><米我>r</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让<米在h><米row><米我>p</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>为多项式约束:</p><p><米在h><米row> <mi> p</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <munder> <mo> ∑</米o><米row><米我>b</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>t</gydF4y2Ba米我><米我>一个</米我></米row></米under> <mrow> <msub> <mi> c</米我><米我>β</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代up> <mtext> x</米text><米我>β</米我></米年代up></米row> </mstyle> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>为<米在h><米row><米我>p</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>，定位矩阵定义为:</p><p><米在h><米row> <msub> <mi> 米</米我><米我>年代</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米我>p</米我><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>＝</米o><米under><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∑</米o></米年代tyle><米我> β</米我></米under><米年代ub> <mi> c</米我><米我>β</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米年代ub> <mi> α</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> +</米o><米年代ub><米我>α</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> +</米o><米我>β</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>的指数<米在h><米row><米我>我</米我><米o>，</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>在这样的范围内<米在h><米row><米row><米o> |</米o><米row><米年代ub><米i> α</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> |</米o></米row><米o>≤</米o><米我>年代</米我></米row></米ath>．这个矩阵也应该是半正定的。一般来说，给出了一个全局多项式优化问题</p><p><米在h><米row> <mi> p</米我><米o>＊</米o><米o>＝</米o><米年代ub><米row><米i> 最小值</米我></米row><米我> y</米我></米年代ub><米我> F</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米年代tyle说pl一个y年代tyle="true"> <mo> ∑</米o><米row><米年代ub><米row></mrow> <mi> α</米我></米年代ub></米row> </mstyle> <msub> <mi> f</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代up> <mtext> x</米text><米我>α</米我></米年代up></米row> </math></p> <p>这样<米在h><米row><米年代ub><米i> G</米我><米我>我</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>假设的程度<米在h><米row><米年代ub><米i> g</米我><米我>我</米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>是<米在h><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代ub><米我>d</米我><米我>我</米我></米年代ub><米o> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>或<米在h><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米年代ub><米我>d</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>．对应于上述全局多项式问题，k阶弛豫表示为:</p><p><米在h><米row> <msub> <mi> p</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＊</米o><米o>＝</米o><米年代ub><米row><米i> 最小值</米我></米row><米我> y</米我></米年代ub><米年代tyle displaystyle="true"> <mo> ∑</米o><米row><米年代ub><米row></mrow> <mi> α</米我></米年代ub></米row> </mstyle> <msub> <mi> f</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米年代up> <mi> y</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> </math></p> <p>这样<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米o>≿</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></p> <p>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米row><米我> k</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>d</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </msub> <mrow> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> G</米我><米我>我</米我></米年代ub><米我> y</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>≿</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米我>我</米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>这是有保证的，因为程度<米在h><米我>k</gydF4y2Ba米我></米在h>增加时,最适条件<米在h><米row><米年代ub年代up> <mi> p</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我><米o>＊</米o></米年代ub年代up></米row> </math>收敛到全局最优p。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p><b>例8.2</b>gydF4y2B一个让我们计算这些矩阵。</p><p>gydF4y2B一个二阶矩矩阵由</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 米</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>30.．</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>03</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>30.．</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>40</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>31</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>31</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>13</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>03</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>13</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>04</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>高阶矩矩阵同样计算。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>计算了多项式的定位矩阵<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>，<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>在例题中。为<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>5</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up><米o> −</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub年代up></米row> </math>，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> y</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 5</米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn> 5</米n><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>30.．</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn> 5</米n><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>03</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 5</米n><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>30.．</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn> 5</米n><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>40</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn> 5</米n><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>31</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>13</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 5</米n><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn> 5</米n><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>31</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>13</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn> 5</米n><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>04</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>为<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代ub> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> y</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <mn> 1</米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>31</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>22</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>13</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>为<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>−</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </math>，</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <msub> <mi> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o年代tretchy="false"> （</米o><米年代ub><米我>f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> y</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>10</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>01</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>20.．</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>30.．</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>11</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>02</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>21</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> y</米我><米row><米n>12</米n></米row></米年代ub> <mo> −</米o><米年代ub><米我>y</米我><米row><米n>03</米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>注意这些定位矩阵包含二阶矩矩阵的项，不包含多余的项。我们可以对给定的问题进行简洁的优化<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> y</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> y</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，<米在h><米row><米年代ub><米i> 米</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米n>3.．</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米我> y</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>正如[2]中所演示的，一旦分子轨道理论建立在基于代数几何和交换代数的多项式系统之上，它使我们能够将传统量子力学的方程和额外的约束结合成一组多项式方程。我们通过数值方法和符号方法的结合来解决这个问题。计算方案基本上是确定由方程组所描述的仿射代数集。然而，对于一般的优化问题，我们只使用方程是有些不方便的。多项式优化算法可以克服这种限制，因为它可以处理半代数集中的不等式的约束。数学基础是“实代数几何”，它包含了各种各样的兴趣。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>量词消去法</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>当我们处理多项式的方程和不等式时，我们经常问自己解的存在性。例如，一个二次方程在什么情况下会有根?“量词消去”(QE)是回答这类问题的计算过程:当问题是由<米在h><米row><米o>∃</米o><米text></米text> <mi> x</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米我>ℝ</gydF4y2Ba米我><米o>．</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>c</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>时，计算机消除量词(<米在h><米o>∃</gydF4y2Ba米o></米在h>）并返回简化的形式<米在h><米row><米年代up><米i> b</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n><米我>一个</米我><米我>c</gydF4y2Ba米我><米o>≥</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>作为答案。事实上，一些数学家提出了执行这种简化的通用理论，如傅立叶、莫兹金、塔斯基[52,53]或普雷斯伯格算术。但这些算法并不实用。之后，由Collins和其他人提出的更实用的算法被称为“圆柱代数分解”(CAD)。代数圆柱分解标准算法的理论基础在[46,54-58]中给出。有几个计算机包实现了该算法，如QEPCAD [59]， Mathematica [60]， Maple[61]和Reduce[62]。由于CAD算法显然与本文的主题有关，让我们在这一节中回顾一下计算过程。让我们通过一个更简单的量词消去例子来考虑这个问题:<米在h><米row><米o>∃</米o><米text></米text> <mi> 一个</米我><米text></米text> <mo> ．</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>我们可以将上述前缀形式简化为不含量词的前缀形式，如<米在h><米row><米年代up><米i> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n><米o>≥</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>圆柱形代数分解分析了的临界点<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>在二维真实<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>飞机。临界点是的解<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <mo> ∂</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> <mrow> <mo> ∂</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> <mo> ＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我></米row></米ath>．它们也是的解<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，<米在h><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米我>x</米我><米row><米o>（</米o><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>一个</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．从而得到矩阵方程:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td><米td> <mi> 一个</米我></米td><米td> <mn> 1</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 2</米n></米td><米td> <mi> 一个</米我></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 2</米n></米td><米td> <mi> 一个</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 1</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>左边矩阵的行列式是的判别式<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．如果为零，则矩阵方程允许非零向量解。因此，我们将一个环上的多项式投影到另一个低维环上的多项式(投影步骤)。我们现在分析投影多项式(判别式)，以便探求根的存在性。因为判别式是<米在h><米row><米n>4</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>我们可以除以<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o></米row></米在h>轴分成五个单元:<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>｝</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>｛</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>所以每一个都给出了判别式的不同符号。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让我们在a-x平面上建立一组圆柱，它们穿过a轴上的每个单元格。它们是由</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，</p><p><米在h><米row> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>｝</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，</p><p><米在h><米row> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，</p><p><米在h><米row> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米row><米o>｛</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>｝</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>，</p><p><米在h><米row> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>∈</米o><米row><米o>（</米o><米row><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>在每个圆柱体中，我们要检查的零和符号条件<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>在<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>飞机。的解决方案<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>分别列出如下。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets" style="margin-top:2%"> <ul> <li> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>:解决方案是<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>一个</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米row><米年代up> <mi> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n></米row></米年代问rt> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>/</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米row><米n>1</米n><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>一个</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米row><米年代up> <mi> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n></米row></米年代问rt> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>/</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>一个</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米row><米年代up> <mi> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n></米row></米年代问rt> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>/</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</l我><l我><米在h> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>:解决方案是<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</l我><l我><米在h> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>:没有解决方案。</l我><l我><米在h> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>＝</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>:解决方案是<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></li> <li> <math> <mrow> <mi> 一个</米我><米o>∈</gydF4y2Ba米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>:解决方案是<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>一个</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米row><米年代up> <mi> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n></米row></米年代问rt> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>/</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>一个</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米row><米年代up> <mi> 一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n></米row></米年代问rt> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>/</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</l我></ul></d我v> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>(在实际的计算中，我们没有尝试用上升的步骤来得到这样的解析解。相反，我们在每个细分中放置一个采样点，并检查符号条件和单变量多项式的解<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> 一个</米我><米我>年代</米我></米年代ub><米o> ，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>. ）</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>的符号条件将圆柱体再次划分为单元格<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．例如，圆柱体<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>除以5个细胞:<br><米在h><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>；<br><米在h><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>；<br><米在h><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row></米row> </math>；<br><米在h><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>｛</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>；<br><米在h><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米o>−</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row><米o>×</米o><米row><米o>（</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米我>∞</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>对于其他圆柱，我们同样构建单元格，如图6所示。的符号条件来区分a-x平面上的这些细胞<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>而且<米在h><米row><米text> 说</米text><米o年代tretchy="false"> （</米o><米我>f</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>＝</米o><米n>4</gydF4y2Ba米n><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>．然后我们寻找满足第一个关于根存在的问题的条件的细胞<米在h><米row><米年代up><米i> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米我>一个</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>，通过连接满足要求的单元，我们得到了答案:<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>≤</gydF4y2Ba米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>或<米在h><米row><米我>一个</米我><米o>≥</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"figure"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto;border:1px solid #8dc449;"> <div class="row" style="width:90%;margin:auto"> <center> <button type="" class="imagebutton" data-toggle="modal" data-target="#myModal6" style="margin-top:2%;"><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure6 JMRR-118.jpg" style="width:100%"></button> </center>  <div class="modal fade" id="myModal6" role="dialog" style="margin-top:90px"> <div class="modal-dialog">  <div class="modal-content"> <div class="modal-header"> <button type="" class="close" data-dismiss="modal">×</but来n><d我vcl作为年代＝"figuredata"> <p>图6</p></d我v></d我v><d我v class="modal-body"> <p><img src="//m.ccnaonline.com/images/JMRR/JMRR-118/Figure6 JMRR-118.jpg" style="width:100%;"></p> </div> <div class="modal-footer"> <div class="row"> <div class="col-md-10"> <div class="figuredata"> <p>x的圆柱代数分解<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+一个x+1。纵轴和横轴分别表示变量x和a。用实线和曲线将区域分解为单元;每个单元格都是由两个多项式的符号条件x来区分的<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+一个x+1和a<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>−4。</p></d我v></d我v><d我v class="col-md-2"> <button type="button" class="btn btn-default" data-dismiss="modal">关闭</but来n></d我v></d我v> </div> </div> </div> </div> <div class="figuredata1"> <p><b>图6:</b>xgydF4y2B一个的圆柱代数分解<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+一个x+1。纵轴和横轴分别表示变量x和a。用实线和曲线将区域分解为单元;每个单元格都是由两个多项式的符号条件x来区分的<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>+一个x+1和a<年代up>2</gydF4y2B一个年代up>−4。</p></d我v></d我v></div> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>在CAD的一般多变量情况下，算法执行多步投影(从n变量到1变量)和提升(从一个轴到整个空间)。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>量子定量宽松的例子有分子轨道理论的味道。让<米在h><米row><米我>e</米我><米o>，</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>x</米我><米o>，</米o><米我>y</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>是简单双原子系统的能量和波函数，使</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mtable columnalign="right"> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd> <mn> 0</米n></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mi> x</米我></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mi> y</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p><b>例8.3</b><米在h><米row><米o> ∃</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o><</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0．．</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>prenex形式询问负e(能量)是否存在于非对称构型的双原子分子中<米在h><米row><米我>x</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．量词消去法得出公式为<br><米在h><米row><米我> F</米我><米我>一个</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我><米我>年代</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>．</米o></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p><b>例8.4</b><米在h><米row><米o> ∃</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>：</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o><</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>前缀形式询问对称构型的双原子分子中是否存在负e(能量)<米在h><米row><米我>x</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．量词消去法得出公式简化为<br><米在h><米row><米年代up> <mi> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>y</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>−</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米o>∧</gydF4y2Ba米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>y</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>这就是量词消去的过程。如果前缀形式包含几个多项式<米在h><米row><米o>｛</米o><米年代ub><米我>f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米row> <mo> （</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ）</米o></米row><米o>|</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>米</米我><米o>｝</米o></米row></米在h>，我们需要计算交集<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>而且<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>为<米在h><米row><米我>我</米我><米o>≠</gydF4y2Ba米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>以及每一个的临界点<米在h><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> </math>．通过变量消去法的投影计算交集，其工具是“合成”。假设<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> f</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>的单变量多项式<米在h><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math>，其中系数为的多项式<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米o>，</米o><米n>．．</米n><米o>，</米o><米年代ub><米我>x</米我><米row><米我> n</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>．在这个假设中，两个多项式的结果<br><米在h><米row><米我> 一个</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> x</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> +</米o><米年代ub><米我>一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> x</米我><米row><米我> d</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mo> +</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>一个</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math><br>而且<br><米在h><米row><米我> B</米我><米o>＝</米o><米年代ub><米我>b</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> x</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> +</米o><米年代ub><米我>b</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub><米年代up> <mi> x</米我><米row><米我> e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mo> +</米o><米o>⋯</gydF4y2Ba米o><米o>+</gydF4y2Ba米o><米年代ub><米我>b</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </math><br>维数为d+e的方阵的行列式定义为<br><米在h><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个ble> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米row><米我> d</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mo> ⋱</米o></米td><米td> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mo> ⋱</米o></米td><米td> <mo> ⋮</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> 一个</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米row><米我> e</米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代ub> </mrow> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mo> ⋱</米o></米td><米td> <mo> ⋮</米o></米td><米td> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mo> ⋱</米o></米td><米td> <mo> ⋮</米o></米td></米tr> <mtr> <mtd> <mn> 0</米n></米td><米td> <mn> 0</米n></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米n>0</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </mtd> <mtd> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mo> ⋯</米o></米td><米td> <mrow> <msub> <mi> b</米我><米我>e</gydF4y2Ba米我></米年代ub></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math><br>其中的行是由的系数组成的数组<米在h><米row><米o>｛</米o><米text></米text> <msup> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代up><米我> 一个</米我><米text></米text> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> 我</米我><米o>＝</米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米o>．</米o><米o>，</米o><米o>，</米o><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h>而且<米在h><米row><米o>｛</米o><米text></米text> <msup> <mi> x</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> B</米我><米text></米text> <mo> |</米o><米text></米text> <mi> j</米我><米o>＝</米o><米我>d</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n><米text></米text> <mo> ｝</米o></米row></米在h>所以这个矩阵和这个向量的乘积<米在h><米row><米row><米o> （</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米row><米我> d</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我></米row></米年代up> <mo> ，</米o><米年代up><米我>x</米我><米row><米我> d</米我><米o>+</gydF4y2Ba米o><米我>e</gydF4y2Ba米我><米o>−</gydF4y2Ba米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代up> <mo> ，</米o><米n>．．.</米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </math>应该给出多项式的集合。的判别<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>的结果是一个特例吗<米在h><米row><米我>f</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>而且<米在h><米row><米fr一个c> <mrow> <mi> d</米我><米我>f</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> <mrow> <mi> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> </mrow> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>当给出问题的多项式表示时，我们期望量词消去法适用于分子轨道理论。如果量词消去顺利，可以得到优化问题解的多项式表示;我们可以在满足要求的参数空间中绘制区域和边界;我们可以用严密的逻辑基础来“推理”量子力学的问题。然而，目前，计算机和算法仍然无能为力;事实上，在最坏的情况下，算法的复杂度是变量数量的两倍指数。(这是因为在变量消去过程中有大量的多项式组合。)因此，我们必须期待在算法和计算机结构上取得一些突破，以便能够将量词消去用于实际目的。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>多项式优化和波几何</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>在上面的例子中，我们隐式地假设所有必需的成分都是多项式。它们是用量子化学的方法生成的:利用定域原子基，将积分微分方程转化为解析函数的长期方程，并进一步用多项式逼近后者。另一方面，量子力学的基本方程总是包含微分算符。事实上，符号计算将适用于由变量和微分生成的代数(g代数);Gröbner基可以通过扩展Buchberger的算法(Mora的算法[77])来计算。然而，g代数是一个纯粹的数学话题，在解决数值问题上似乎无能为力。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>对于这个问题，前面提到的多项式优化会给我们一些提示。其关键思想是将方程中的一元变量替换为一次变量，后一次变量由半正定规划框架确定[78]。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>多项式优化算法基于测度理论。一阶的变量，对应于单项式<米在h><米row><米年代up><米i> X</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代up><米o> ＝</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> α</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> <mo> ⋅</米o><米年代ub年代up><米我> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n><米row><米年代ub><米i> α</米我><米n>1</gydF4y2Ba米n></米年代ub></米row> </msubsup> </mrow> </math>表示矩问题中的积分，<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代ub><米o> ＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <msup> <mi> X</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> d</米我><米我>μ</gydF4y2Ba米我></米row></米ath></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>通过某种概率度量<米在h><米我>μ</gydF4y2Ba米我></米在h>，满足<米在h><米row><米年代up><米年代tyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> d</米我><米我>μ</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．我们用下面的形式构造矩矩阵的项<br><米在h><米row><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> α</米我><米o>，</米o><米我>β</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <msup> <mi> X</米我><米我>α</gydF4y2Ba米我></米年代up><米年代up> <mi> X</米我><米我>β</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> d</米我><米我>μ</gydF4y2Ba米我></米row></米ath></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>然而，该算法不是直接确定度量，而是计算力矩<米在h><米row><米年代ub><米i> y</米我><米row><米我> α</米我><米o>，</米o><米我>β</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> </mrow> </math>通过利用它们之间的约束条件，使目标函数最大化。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>这个算法的基础有一个重要的意义:如果我们从量子力学的类比来考察问题，度量是合理的<米在h><米row><米我>d</米我><米我>μ</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>可能会被<米在h><米row><米o>|</米o><米我>ϕ</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row><米年代up> <mo> |</米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米text> </mtext> <mi> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>通过某种波函数<米在h><米我>ϕ</gydF4y2Ba米我></米在h>，力矩由量子力学意义上的期望值给出。由于坐标算子和微分算子的乘积的期望值是可以计算的，因此我们可以推广矩矩阵的思想。对于单变量情况，典型的积分由<br><米在h><米row><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> 我</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>ϕ</米我><米text></米text> <mrow> <mo> |</米o><米row><米text> </mtext> <msup> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代up><米年代up> <mi> x</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up><米text> </mtext> </mrow> <mo> |</米o></米row><米text> </mtext> <mi> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math><br>或<br><米在h><米row><米年代ub> <mi> y</米我><米row><米我> 我</米我><米o>：</米o><米我>j</gydF4y2Ba米我></米row></米年代ub> <mo> ＝</米o><米row><米o>（</米o><米row><米我>ϕ</米我><米text></米text> <mrow> <mo> |</米o><米row><米text> </mtext> <msup> <mi> x</米我><米我>我</米我></米年代up><米年代up> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米fr一个c> <mo> ∂</米o><米row><米o>∂</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> <mi> j</米我></米年代up><米text> </mtext> </mrow> <mo> |</米o></米row><米text> </mtext> <mi> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row></米row> </math>．</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>让我们考虑最简单的问题:谐振子。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>谐振子的总能量由运动动量算符p和坐标算符的平方和给出<米在h><米row><米我>x</米我><米o>：</米o><米我>H</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米年代up><米我>p</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米o>+</米o><米年代up><米我>x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>的关系:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mo stretchy="false"> ［</米o><米我>p</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o年代tretchy＝"false"> ］</米o><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代问rt><米row><米o> −</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n></米row></米年代问rt> <mi> h</米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 为了避免复数中的实参，我们用<米在h><米row><米我>u</米我><米o>＝</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米我>d</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>,而不是<米在h><米我>p</gydF4y2Ba米我></米在h>．</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> 我们将扩展矩矩阵定义为<米在h><米row><米我> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>我</米我></米年代up><米年代up> <mi> u</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> ］</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代up><米年代up> <mi> u</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mrow> <mo> （</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>我</米我></米年代up><米年代up> <mi> u</米我><米我>j</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>k</gydF4y2Ba米我></米年代up><米年代up> <mi> u</米我><米我>l</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 这种积分由这些项的线性组合重新排列<米在h><米row><米我> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>米</米我></米年代up><米年代up> <mi> u</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up></米row> <mo> ］</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> ϕ</米我><米row><米o>（</米o><米row><米年代up><米i> x</米我><米我>米</米我></米年代up><米年代up> <mi> u</米我><米我>n</gydF4y2Ba米我></米年代up><米我> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米ath> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> 矩矩阵(索引为<米在h><米row><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>，</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>，</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row></米ath>)为:<米在h><米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个blecolumnalign="left"> <mtr columnalign="left"> <mtd columnalign="left"> <mn> 1</米n></米td><米tdcolumnalign="left"> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mn> 0</米n></米td></米tr> <mtr columnalign="left"> <mtd columnalign="left"> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mrow> <mo> −</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr columnalign="left"> <mtd columnalign="left"> <mn> 0</米n></米td><米tdcolumnalign="left"> <mrow> <mo> −</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd columnalign="left"> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米o>−</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row></米row> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>(在上面的,<米在h><米row><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米o>−</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>u</米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>由于常数是线性的。)为了计算这个矩阵，我们使用了以下关系:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米n>1</gydF4y2Ba米n><米o>］</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>h</米我><米fr一个c><米我> d</米我><米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> <mi> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> ϕ</米我><米我>d</gydF4y2Ba米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> <math> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>h</米我><米fr一个c><米我> d</米我><米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> <mi> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米我>h</米我><米fr一个c><米我> d</米我><米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> <mi> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> ϕ</米我><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米年代up><米我>h</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米fr一个c> <mrow> <msup> <mi> d</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mrow> <mi> d</米我><米年代up><米我> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mfrac> <mi> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米o>−</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math><br> <math> <mrow> <mtable columnalign="right"> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米row> <mo> ［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row></米row> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <msup> <mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>h</米我><米fr一个c><米我> d</米我><米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> <mi> ϕ</米我></米row><米o> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米我>x</米我><米我>ϕ</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米年代up><米年代tyle米athsize="140%" displaystyle="true"> <mo> ∫</米o></米年代tyle><米text></mtext> </msup> <mi> ϕ</米我><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米fr一个c><米我> d</米我><米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> <mo> ⋅</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米我> ϕ</米我><米text></米text> <mi> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>u</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="right"> <mtd 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米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>+</米o><米我>一个</米我><米text></米text> <mi> b</米我><米row><米o>（</米o><米row><米o>−</米o><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>u</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>+</米o><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> <mo> ］</米o></米row><米o年代tretchy="false"> ）</米o></米row></米td> </mtr> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow></mrow> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mo> −</米o><米年代up><米我>一个</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>u</米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>+</米o><米年代up><米我>b</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米我> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>−</米o><米我>一个</米我><米text></米text> <mi> b</米我><米text></米text> <mi> h</米我></米row></米td> </mtr> <mtr columnalign="right"> <mtd columnalign="right"> <mrow></mrow> </mtd> <mtd columnalign="right"> <mo> ＝</米o></米td><米tdcolumnalign="right"> <mrow> <mrow> <mo> （</米o><米row><米我>一个</米我><米o>，</米o><米我>b</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个blecolumnalign="left"> <mtr columnalign="left"> <mtd columnalign="left"> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米o>−</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mrow> <mo> −</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米td> </mtr> <mtr columnalign="left"> <mtd columnalign="left"> <mrow> <mo> −</米o><米我>h</gydF4y2Ba米我><米o>/</gydF4y2Ba米o><米n>2</gydF4y2Ba米n></米row></米td> <mtd columnalign="left"> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>z</米我><米我>z</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米t一个blecolumnalign="left"> <mtr columnalign="left"> <mtd columnalign="left"> <mi> 一个</米我></米td></米tr> <mtr columnalign="left"> <mtd columnalign="left"> <mi> b</米我></米td></米tr> </mtable> </mrow> <mo> ）</米o></米row><米row> <mo> （</米o><米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row><米o>）</米o></米row></米row> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </math></p> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> <p>用矩阵的半正定度代替了二次型的半正定度。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>矩矩阵的半正确定性要求有以下关系:</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p> <math> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> <math> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米o>−</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> <math> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米text> </mtext> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米o>−</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>−</米o><米fr一个c><米row> <msup> <mi> h</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mn> 4</米n></米fr一个c><米o> ≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> <math> <mrow> <mi> 依据</米我><米o年代tretchy＝"false"> （</米o><米我>米</米我><米o年代tretchy＝"false"> ）</米o><米o>≥</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> <math> <mrow> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>−</米o><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米text> </mtext> <mi> 米</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>≥</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h> </div> <div class="para" style="margin-top:2%"> (矩阵对角线项为正;2 × 2余子式的行列式，沿着对角线取，是正的;矩阵的行列式是正的)</d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> 在这种条件下，最优的<米在h><米row><米我>E</米我><米o>＝</米o><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米o>−</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>+</米o><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row></米row> </math>在获得<米在h><米row><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米我>x</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>＝</米o><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米row><米o>−</米o><米我>u</gydF4y2Ba米我><米我>u</gydF4y2Ba米我></米row><米o> ］</米o></米row><米o>＝</米o><米fr一个c><米n>1</米n><米n>2</gydF4y2Ba米n></米fr一个c><米我> h</米我></米row></米ath>而且<米在h><米row><米我>米</米我><米row><米o>［</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>］</米o></米row><米o>＝</米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>．可以通过几种方法得到解。本文的作者(菊池和菊池)尝试了几种算法来按作品顺序求解:在[63]中通过量化宽松的方法求解;利用粒子群优化方法[64];通过在[65]中直接确定度量μ本身的方法。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>也许这个算法的意义在于可以通过提供变量来“量化”多项式方程<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米年代ub><米i> x</米我><米我>我</米我></米年代ub></米row> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>用微分算子<米在h><米row><米row><米o> ｛</米o><米row><米我>h</米我><米fr一个c><米我> d</米我><米row><米我> d</米我><米我>x</gydF4y2Ba米我></米row></米frac> </mrow> <mo> ｝</米o></米row></米row> </math>；求多项式的根<米在h><米row><米我>W</米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>被量子哈密顿量的基态计算所取代<米在h><米row><米我>H</米我><米o>＝</米o><米o>−</gydF4y2Ba米o><米年代up><米我>h</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up><米fr一个c> <mrow> <msup> <mi> d</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> <mrow> <mi> d</米我><米年代up><米我> x</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </mfrac> <mo> +</米o><米我>W</gydF4y2Ba米我><米row><米o>（</米o><米我>x</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>；在极限情况下<米在h><米row><米我>h</米我><米o>→</gydF4y2Ba米o><米n>0</gydF4y2Ba米n></米row></米在h>时，量子系统的“概率分布”应与仿射代数集一致<米在h><米row><米我>V</米我><米row><米o>（</米o><米我>W</gydF4y2Ba米我><米o>）</米o></米row></米row> </math>．毫不夸张地说，我们发现了具有开创性的“波几何”概念，它在数学上相当于物理学上的“波力学”。实际上，在20世纪中期，Mimura等人提出了“波几何”的思想[66]:他们的基本思想是假定线素<米在h><米row><米我>d</米我><米年代up><米我> 年代</米我><米n>2</gydF4y2Ba米n></米年代up></米row> </math>在微分几何中作为量子力学中的算符，因此，微分算符<米在h><米row><米我>h</米我><米fr一个c><米我> d</米我><米row><米我> d</米我><米我>年代</米我></米row></米frac> </mrow> </math>是耦合的。与此相反，我们的“波几何”概念是建立在代数几何的基础上的，我们希望我们的概念可以通过为定量模拟量子动力学而开发的强大技术，以及现代代数理论，应用于定量-数值或符号计算。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading3"> <h1>符号计算的可用包</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para bullets"> <p>有几个符号计算包，我们可以通过它们计算Gröbner基或初等理想分解。</p><ul><l我>CoCo一个:计算机代数系统[67]。</l我><l我>用于计算离散代数的软件。包的主要目的是执行群论中的计算，但它可以处理多项式[68]。关于GAP软件在材料物理中的应用，参见菊池的工作[77]，菊池和菊池的文章[69]。</l我><l我>米一个c一个ul一个y 2:计算机代数系统[70,71]。</l我><l我>用于几乎所有科学和工业领域的技术计算系统[60]。</l我><l我>米一个ple：通用符号计算软件。初级理想分解在包“正则链包”上实现[61]。</l我><l我>米一个x我米一个：通用符号计算软件[72]。</l我><l我>简化:计算机代数系统[62]。</l我><l我>奇异:计算机代数系统[73]。它包含各种解决代数几何问题的库。它还包含用于非交换代数的扩展包“复数”。人们可以从入门教材中学习如何使用Singular进行计算[40,74]。</l我><l我>至于量词消除，也有一些可用的软件包。</l我><l我>问EPC一个D:一个免费软件，它通过部分圆柱代数分解[59]来进行量词消去。</l我><l我>减少</l我><l我>米一个the米在我ca</l我><l我>枫木</l我><p>在数学科学领域有一个捆绑了几个免费软件包的平台系统。</p><l我>开源数学软件系统。在这个平台上，人们可以利用大量的数值和符号计算软件包(其中包括Gap、Maxima和Singular)[75]。</l我><p>有很多符号计算的研究中心。大量的计算机代数系统是几所大学多年研究的产物。你可以在法国找到INRIA最新研究的软件实现:</p><l我>我NR我一个：国家科学研究所dédié aux sciences du numérique。关于代数、几何和计算机科学相互作用的研究项目正在进行中[76]。</l我></ul></d我v> <div class="heading"> <h1>总结</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>亲爱的读者们，我们的航行现在已经按计划结束了。你如何看待量子力学和代数几何之间的联系?我们甚至在熟悉的量子化学领域也发现了它。代数几何不是另一个领域的语言;它是一种定量精确地解决实际问题的工具。你觉得有趣吗?还是你冷冷地断定它是玩物?</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>在本文中，我们首先用代数几何的方法演示了分子轨道理论的符号-数值计算的一个模型案例。然后用简单的例子阐述了交换代数和代数几何中的相关数学概念。此外，我们还介绍了一些数学和计算方法，它们将与这个后当代量子化学理论相联系。该理论的两个主要原则是用多项式表示所涉及的方程和用计算机代数处理多项式。然后就可以分析多项式方程，揭示变量之间的相关性。在传统的分子轨道理论中，主要的数学工具是线性代数。实际上，它是交换代数的一个子集。例如，矩阵的对角化和特征态的标准正交性在更广泛的环境中是可以理解的:初级理想分解。后者与代数几何中的其他基本思想:奇异的解析和变化的归一化有密切的关系。此外，多项式近似(在我们的理论中不可避免)应该理想地嵌入交换环的“完备性”中; we do this approximation with the finite number of symbols for the sake of facile computations in the limited resources. Without doubt, there are a lot of other concepts in commutative algebra and algebraic geometry which would be embodied in the application of computational quantum mechanics. You should Ask, and it will be given to you...</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>或者,</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para" style="margin-top:2%"> <p>Petite, et dabitur vobis;quaerite等invenietis;搏动，等耳廓。这将是我们的幸福，这篇文章的作者，如果你喜欢每一口“量子化学与代数几何的观点”，如果这篇文章激起了你的好奇心;我们衷心欢迎您参与这一新主题的研究。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"heading"> <h1>鸣谢</h1></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <p>作者感谢所有花了宝贵时间陪伴作者走过文章结尾看似“枯燥”的话题的读者。</p></d我v><d我vcl作为年代＝"para"> <a href="//m.ccnaonline.com/journal-of-multidisciplinary-research-and-reviews/supplementaryfile/Computational-Algebraic-Geometry-and-Quantum-Mechanics-An-Initiative-toward-Post-Contemporary-Quantum-Chemistry">补充文件</一个></d我v></d我v></div>   <div class="tab-pane fade" id="pdf"> <div class="article_tab"> <div class="row"> <object width="100%" height="600px" data="https://docs.google.com/gview?embedded=true&url=//m.ccnaonline.com/articles/JMRR/JMRR-118.pdf" class="mobile"></object> <embed src="//m.ccnaonline.com/articles/JMRR/JMRR-118.pdf" type="application/pdf" width="100%" height="600px" class="large"> </div> <div class="row pdf"> <div class="col-md-6 col-xs-6"> <center> <a target="_blank" href="//m.ccnaonline.com/articles/JMRR/JMRR-118.pdf"><img src="//m.ccnaonline.com/images/pdf.png"></a> <p>查看pdf</p></center></d我v> <div class="col-md-6 col-xs-6"> <center> <a href="//m.ccnaonline.com/articles/JMRR/JMRR-118.pdf" download=""><img src="//m.ccnaonline.com/images/pdf.png"></a> <p>下载</p></center></d我v> </div> </div> </div>  <div class="tab-pane fade" id="references"> <div class="article_tab"> <div class="refpara ref"> <ol> <p>没有参考文献</p></ol></d我v> </div> </div>  </div> </div>  </div> </div> </div> </div>  <div class="col-md-3 col-md-offset-1"> <style> .pos{ position: fixed; 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-moz-animation-delay: 1s; animation-delay: 1s;"> 知识共享署名-非商业性共享4.0国际许可协议。</d我v></一个>创新资讯版权所有</d我v></d我v></d我v><d我v id="fixed-social"> <div> <a href="https://www.facebook.com/innovationinfo.org/" class="fixed-facebook" target="_blank"><i class="fa fa-facebook" style="background-color: #3d5b99;"></i><span>脸谱网</年代p一个></一个></d我v> <div> <a href="https://twitter.com/InnovationInfo4" class="fixed-twitter" target="_blank"><i class="fa fa-twitter" style="background-color: #00aced;"></i><span>推特</年代p一个></一个></d我v> <div> <a href="https://www.linkedin.com/uas/login?session_redirect=https%3A%2F%2Fwww.linkedin.com%2Fcompany%2F13303041%2Fadmin" class="fixed-linkedin" target="_blank"><i class="fa fa-linkedin" style="background-color: #0073b0;"></i><span>LinkedIn</年代p一个></一个></d我v> </div>    </div> </body> </html>