哥德巴赫在1742年6月7日写给欧拉的信中提出了欧拉猜想的现代版本，并广为流传:任何大于2的偶数都可以写成2个质数的和。我们提出了一个等价的猜想:任何大于1的整数都可以用2个质数的平均值表示。

哥德巴赫在1742年6月7日写给欧拉的信中提出了欧拉猜想的现代版本，并广为流传:任何大于2的偶数都可以写成2个质数的和。我们提出了一个等价的猜想:任何大于1的整数都可以用2个质数的平均值表示。

这样，我们就可以通过下标k得到距离n等距的质数，我们称之为数n的对称性。这种对称性涉及到整数:

n-k < n和n+k˃n

具有如下振幅:

3•••n•••2×n-3

下面是数字39的几种对称性。

5_-34年7_－3211_-28年17_-22年19_-20年31₈37_－239₀41₂47₈59_20.61₂₂67₂₈71₃₂73₃₄

显然，如果n本身是质数，当k = 0时，结果是平凡的;然而，在我们的宗旨上，我们总是采取:

K > 0, n > 3, p≠q。

简单，普通的算术平均数。

我们区分奇整数和奇素数。如果我们寻求对称的数是偶数，那么下标就是奇数，反之亦然。当我们考虑假设时，我们验证了前2097150个连续整数，并确认了该陈述。但这还不够;我们尝试了其他几个数量级更大的连续数字(总是随机的第一个)，例如:

2326416308•••2326437251

10812083835233317544•••10812083835233361798

313545261969434692888811456477964920750••••313545261969434692888811456477964922750

6192320351375108084644961593402992759589707 3585560405976048239712178367757632••••619232035 137510808464496159340299275958970735855607757800

通过分析k，我们观察到k相对于n总是很小的。

对于2097150个整数，k的最大值为1722。在512位数字的随机测试中，k的最大值是70038，这很奇怪!索引只有17位。

1312920071689103336635487768861320906735030 9462450835343836694081340406493202375322485753 1312920071689103336635487768861320906735030 81690280849216741069 =(13129200716891033366354 8776886132090673503094624508353438366940813404 13129200716891033366354 3171633499058898983581690280849216671031) +(131 2920071689103336635487768861320906735030946245 0835343836694081340406493202375322485753821651 2920071689103336635487768861320906735030946245 80849216811107)÷2。

我们用Rabin-Miller算法来判断这些数字是否是质数。鉴于第一个连续整数的结果，我们在后续的研究中没有那么严格，每个素数的质数检验总共迭代了25次。但是，怎样才能保证总能找到结果呢?另一个疑问出现了:我们如何评估找到这种对称性的可能性?

为了解决这个问题，让我们来看看下面的问题:我们有20个完全相同的球体和两个理想的轮盘，一个在左边-L，一个在右边-R，每个轮盘都有36个编号的单元格，我们称之为索引。我们旋转左边的轮盘，扔出11个球。我们旋转右边的轮盘，然后发射剩下的9个球。得到至少一个匹配的概率是多少，使得轮盘L中的11个单元格中的任何一个，和轮盘R中的9个单元格中的任何一个有相同的索引?

为了方便起见，我们将研究一个相反的问题:非巧合的概率Pr是多少?也就是说，在最后，当轮盘停止时，没有一个球有相同的索引!

理由是:当轮盘赌L的所有格子都被占用，我们扔出轮盘赌R的第一个球时，就有36个格子可用。但是，我们不希望它的索引与另一个轮盘所占用的11个索引中的任何一个匹配。这个事件的概率是25 4 36。当我们发射第二个球体时，我们已经有了一个单元格，因此少了一个选项，所以这个概率是24 4 35。然后，以这种方式，可能性减少到每次发射和最后一个球体，概率是17 4 28。

为达到目标，得到不重合的概率:

公关5(25436)3(24435)33•••3(18429)(17428)。

知道结果，Pr 50.0217

我们现在可以回答第一个问题:至少一次巧合的概率是0.9783。

有N个单元和p1q球体的轮盘需要一个更好的方程，因为如果涉及的值很大，计算就会变得繁琐、困难甚至不切实际。我们更喜欢使用Pr，即没有得到任何匹配的概率，而不是至少得到一个匹配的概率，后者由Pr到1的补给出。这里只使用Pr !不可行:区分偶数和奇数似乎很简单!只要看个位数就行了。然而，对于一个以5为基数写的googol的顺序，它不是立即的!

注意105不能被2整除。

如果我们有一个googolplex呢?见Kasner & Newman。

我们有:

Pr5 [(N2P) 4 n] 3 [(N2P21) 4 (N21)] 3••••••3 [(N2P2Q11) 4 (N2Q11)]。

对于整数a > b > m > 0，下面的组合恒等式是有用的:

C{b m}4C{a m} 5{[b!4(b2m)!]}4{[a!4(a2m)!]}5 [(b4a)] 3 [(b21) 4 (a21)] 3••••••3[(b2m11)4(a2m11)].

C {^b_米} 4 c {^一个_米{5} [b ! 4 (b2m) !]} 4 {[! 4 (a2m) !]}

5 [(b4a)] 3 [(b21) 4 (a21)] 3•••

• ••3 [(b2m11) 4 (a2m11)]。

因此，用我们的变量，如果N > P > Q且N2P≥Q，我们有:

P_r5 c {^N2P_问} 4 c {^N_问}。

为了说明，在轮盘赌的例子中
C {25
9} 4 c {36
9}。

回到我们的猜想，我们将研究在整数之间分布的素数会发生什么——使用相同的前面的模型——固定一个数字n，并考虑n个整数的振幅:

小于n包含P个质数且大于n包含Q个质数。我们已经知道如何计算在等价指数下找不到任何球对的概率，我们还有一个类似的问题，质数是:

P = n+k, q = n-k。

如果N，也就是P和Q，是很大的概率，就很难像我们那样得到这个概率，因为即使

N是已知的，我们怎么知道P和Q的值?

首先，我们可以使用一个技巧!不难证明:

[(n-p) ÷n] > [(n-p -1)÷(n-1)] >••••

•••> [(n-p-q +1)÷(n-q +1)]。

因此，我们可以:

Pr= [(np)÷N]^问考虑到这个值大于C{^阻燃剂_问}÷C {^N_问}。

Pr= [(np)÷N]^问考虑到这个值大于C{^阻燃剂_问}÷C {^N_问}。

Π (x)≈x ÷ log (x)。

对于非常大的数的阶乘，最好使用斯特林近似。

PNT:该定理描述了素数在整数之间的分布，并由Jacques Hadamard和Charles Jean de la Vallée-Poussin在1896年通过对Bernhard Riemann函数ξ的研究独立证明。该定理向我们保证，小于(或可能等于)x的质数的数量与x与logx的比值成正比。

这允许我们说，在可用振幅范围内，P≥Q:

为了使猜想有效，我们最终需要证明当n趋于无穷时Pr趋于0，并且……然后，我们面临着一个明显的悖论:函数的直观极限不是零，计算表明是。

但是，我们继续，尽管计算这个极限需要时间，我们还是不能得到它;所有的尝试都是徒劳的。然而，通过互联网我们可以看到，这个问题已经被学术界奉为圣物，事实上，函数的极限为零。这就是我们如何得到预期结果的，因此，没有得到任何巧合的概率是:

Lim_N→∞Pr= 0

也就是说，可能总会有至少一次巧合。计算第一个数字很简单，我们可以通过连续迭代进行穷尽计算来得到更多的数字。

但鉴于我们所拥有的:一个概率计算;在最后得到的n和无限大之间，是否有任何n使猜想失败?

这是直觉……对我们来说!